Exercice [Unsolved]

[Bx_01]

Trouver tous les nombres irrationnelles $a$ sachant que $a^2+2a$ et $a^3-6a$ sont des nombres rationnelles .

[Mohamed El Alami]

@Reda-Mouqed $a^2+2a$ ne peut etre $0$, En prenant le quotient, tu trouve que le nombre:
$\frac{a^2-6}{a+2}=r$
est un rationel, ainsi: $a^2-ra=2r+6$ est rationel, mais $a^2+2a$ est rationel aussi, en prenant la difference, $(2+r)a$ est rationel, alors que $a$ est irrationel, d'ou $r=-2$. Je te laisse finir l'argument.

[Bx_01]

Mercii ! Tres bonne idee :)
En remplacant $r=-2$ dans l' équation , on trouve : $a^2+2a=-4+6$
$\Leftrightarrow (a+1)^2=3$
D'ou $a=-1 \pm \sqrt{3}$

[Anas Adlany]

Solution by:Lakhrissi Samir
we have $a^2+2a\in \mathbb{Q} \Rightarrow (a+1)^2\in \mathbb{Q} : (1)$.
Now,set $b=a-1$,hence $b^2\in \mathbb{Q}$.If we subtitute in the second condition we shall obtain $b^3-3b^2-3b+5 \in\mathbb{Q}$,but $-3b+5 \in\mathbb{Q}$.
So,$b^3-3b \in \mathbb{Q} \Rightarrow b(b^2-3)\in\mathbb{Q}.$

• If $b^2-3 \neq 0$,then $b \in \mathbb{Q}$ which is false.

• So,$b^2-3=0 \Rightarrow b=+\sqrt3$ or $b=-\sqrt3$
  that is $a=1+\sqrt3$ or $a=1-\sqrt3$ .