EXO N - EF 2 [Proposed]

  • Math&Maroc

    Trouver toutes les fonctions f:RRf : \mathbb{R} \to \mathbb{R} surjective, et vérifiant :
    (x,yR):f(x+f(x)+2f(y))=f(2x)+f(2y) (\forall x,y \in \mathbb{R} ) : f(x+f(x)+2f(y))=f(2x)+f(2y).

  • 0_1480611123707_E1.jpg

  • Soit P(x,y)P(x,y) l assertion f(x+f(x)+2f(y))=f(2x)+f(2y) f(x+f(x)+2f(y))=f(2x)+f(2y)
    ff surjective Donc il existe a tel que f(a)=0f(a)=0

    P(a,a)f(2a)=0P(a,a)\rightarrow f(2a)=0

    P(0,y)P(a,y)f(f(0)+2f(y))f(a+2f(y))=f(0)P(0,y)-P(a,y)\rightarrow f(f(0)+2f(y))-f(a+2f(y))=f(0)
    Hors f est surjective
    Donc pour tout cc de RR on a f(f(0)+c)f(a+c)=f(0)f(f(0)+c)-f(a+c)=f(0)

    On considere R(c) R(c) l assertion f(f(0)+c)f(a+c)=f(0)f(f(0)+c)-f(a+c)=f(0)
    R(0)f(f(0)=f(0) R(0)\rightarrow f(f(0)=f(0)

    R(a)f(f(0)+a)=f(0)R(a) \rightarrow f(f(0)+a)=f(0)

    R(f(0)f(2f(0))=2f(0) R(f(0) \rightarrow f(2f(0))=2f(0)

    P(0,0)f(3f(0))=2f(0)P(0,0) \rightarrow f(3f(0))=2f(0)

    P(0,f(0))f(3f(0))=3f(0)P(0,f(0)) \rightarrow f(3f(0))=3f(0)
    f(0)=0\rightarrow f(0)=0

    Maintenant P(0,y)f(2f(y))=f(2y) P(0,y)\rightarrow f(2f(y))=f(2y)
    Donc P(x,y)f(x+f(x)+2f(y))=f(2x)+f(2f(y))P(x,y)\rightarrow f(x+f(x)+2f(y))=f(2x)+f(2f(y))
    Hors 2f(y)2 f(y) parcourt R
    Donc on peut former une nouvelle assertion pour tout (x,y)(x,y) de RR on a:
    Q(x,y)f(x+f(x)+y)=f(2x)+f(y)Q(x,y)\rightarrow f(x+f(x)+y)=f(2x)+f(y)
    Q(x,0)f(x+f(x))=f(2x)Q(x,0) \rightarrow f(x+f(x))=f(2x)
    Q(x+f(x),y)f(x+f(x)+f(2x)+y)=f(2(x+f(x))+f(y)Q(x+f(x), y) \rightarrow f(x+f(x)+f(2x)+y) = f(2(x+f(x)) + f(y)
    =f(x+f(x)+f(x+f(x))+f(y)=f(x+f(x)+f(2x))+f(y) = f(x+f(x)+f(x+f(x))+f(y)= f(x+f(x)+f(2x))+f(y)

    Q(x,2f(2x)f(x+f(x)+2f(2x))=f(2x)+f(2f(2x))Q(x,2f(2x) \rightarrow f(x+f(x)+2f(2x))= f(2x)+f(2f(2x))

    Q(x+f(x),f(2x)f(x+f(x)+2f(2x))=f(x+f(x)+f(2x))+f(2x)Q(x+f(x), f(2x) \rightarrow f(x+f(x)+2f(2x)) = f(x+f(x)+f(2x))+f(2x)
    =f(2x)+f(f(2x)+f(f(2x)=f(2x)+2f(f(2x)=f(2x)+f(f(2x)+f(f(2x) = f(2x)+ 2f(f(2x)

    On en déduit que 2f(f(2x))=f(2f(2x)) 2f(f(2x))=f(2f(2x))
    f(2x)f(2x) parcourt R
    Donc 2f(x)=f(2x) 2f(x) = f(2x) Et on a P(0,x)f(2x)=f(2f(x)P(0,x) \rightarrow f(2x)=f(2f(x)
    Donc 2f(x)=f(2f(x)) 2f(x)= f(2f(x))
    Et comme 2f(x)parcourt2f(x) parcourt R R on en déduit finalement que
    f(x)=x f(x)=x Pour tout xx

  • Math&Maroc

    Bravo Mamoun, je propose une autre solution:
    Soit l'assertion P(x,y):f(x+f(x)+2f(y))=f(2x)+f(2y)P(x,y): f(x+f(x)+2f(y))=f(2x)+f(2y)
    et soit cRc \in \mathbb{R} tels que f(c)=0f(c)=0
    P(c,c):f(2c)=0P(c,c): f(2c)=0
    P(x,c):f(x+f(x))=f(2x)      (1)P(x,c) : f(x+f(x))=f(2x) \ \ \ \ \ \ (1)
    P(c,x):f(2f(x)+c)=f(2x)     (2)P(c,x) : f(2f(x)+c)=f(2x) \ \ \ \ \ (2)
    Soit A,BA,B deux réels tels que f(A)=f(B)f(A)=f(B).
    dans (2)(2) : f(2A)=f(2B)f(2A)=f(2B).
    P(A,x):f(A+f(A)+2f(x))=f(2A)+f(2x)P(A,x) : f(A+f(A)+2f(x))=f(2A)+f(2x)
    P(B,x):f(B+f(B)+2f(x))=f(2B)+f(2x)P(B,x) : f(B+f(B)+2f(x))=f(2B)+f(2x)
    et comme f(2A)=f(2B)f(2A)=f(2B) alors:
    de plus ff est surjective 2f(x)2f(x) parcourt dans R\mathbb{R} d'où :
    (xR):f(A+f(A)+x)=f(B+f(B)+x)(\forall x \in \mathbb{R}): f(A+f(A)+x)=f(B+f(B)+x)
    f(x)=f(x+A+f(A)Bf(B))=f(x+AB) \Rightarrow f(x)=f(x+A+f(A)-B-f(B))=f(x+A-B)
    f(x)=f(x+AB) \Rightarrow f(x)=f(x+A-B).
    On conclut que si f(A)=f(B)f(A)=f(B) alors f(x)=f(x+AB)f(x)=f(x+A-B) pour tout xRx \in \mathbb{R}
    Soit xRx \in \mathbb{R} en utilisant (1)(1) on prend A=x+f(x)A=x+f(x) et B=2xB=2x :
    alors : f(x)=f(x+AB)=f(x+f(x)x)=f(f(x))f(x)=f(x+A-B)=f(x+f(x)-x)=f(f(x))
    et ainsi (xR):f(f(x))=f(x)(\forall x \in \mathbb{R}) : f(f(x))=f(x)
    comme f(x)f(x) parcourt R\mathbb{R} ( f est surjective ) alors :
    f(x)=xf(x)=x pour tout xx dans R\mathbb{R}.

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