Exercice AA-001-I

  • Math&Maroc

    x,y,zx,y,z sont des réels non nuls vérifiant : x+y+z=xyzx+y+z=xyz. Montrer que

    (x21x)2+(y21y)2+(z21z)24.\left(\dfrac{x^2-1}{x}\right)^2+\left(\dfrac{y^2-1}{y}\right)^2+\left(\dfrac{z^2-1}{z}\right)^2\geq 4.

  • On va utiliser les notations p=a+b+cp=a+b+c et q=ab+ac+bcq=ab+ac+bc et r=abcr=abc
    On sait que p327r p^3\geq 27r donc p33 p\geq 3\sqrt{3}
    Et d apres C.S on a L.H.S(pqr)23 L.H.S \geq \frac{( p -\frac{q}{r})^2 }{3} (pp23p)23 \geq \frac{( p -\frac{p^2}{3p})^2 }{3} =4p227 = \frac{4p^2}{27} 4 \geq 4

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