Faire d'une pierre deux coups !!


  • Math&Maroc

    Bonjour,
    le problème 3 de l'OIM 1990 et le problème 4 de l'OIM 1999 étaient les suivants :
    (1) Quels sont les entiers nNn\in {\mathbb N}^* tels que 2n+1n2\dfrac{2^n+1}{n^2} soit entier ?
    (2) Déterminer tous les couples (n,p)(n,p) d'entiers strictement positifs tels que : (i) pp est un nombre premier; (ii) n2pn\leq 2p; (iii) (p1)n+1(p-1)^n+1 est divisible par np1n^{p-1}.

    Pourquoi ne pas faire d'une pierre deux coups en proposant le problème plus général suivant :

    Déterminer toutes les paires (m,n)(m,n) d'entiers strictement positifs telles que nmn^m divise mn+1m^n+1.

    La réponse à cet exercice est donnée par : nmn^m divise mn+1m^n+1 si, et seulement si, (m,n)=(2,3)(m,n)=(2,3), (m,n)=(1,2)(m,n)=(1,2), ou n=1n=1 et mm est quelconque.

    On peut montrer, encore plus généralement, le résultat suivant :

    soient a,ba,b et nn des entiers tels que n2n\geq 2, amax(1,b)a\geq \max(1,\vert b\vert) et b0b\geq 0 pour nn pair. On pose δ=pgcd(a,b),α=δ1a\delta=pgcd(a,b), \alpha=\delta^{-1}a et β=δ1b\beta=\delta^{-1}b.

    (1) On suppose que βα\beta\neq -\alpha lorsque nn est impair. Alors, na(an+bn)n^a\vert (a^n+b^n) et nα(αn+βn)n^\alpha\vert (\alpha^n+\beta^n) si, et seulement si, (a,b,n)=(2,1,3)(a,b,n)=(2,1,3) ou bien (2c,2c,2)(2^c,2^c,2) pour c{0,1,2}c\in \{0,1,2\}.

    (2) Si βα\beta\neq \alpha, alors na(anbn)n^a\vert (a^n-b^n) et nα(αnβn)n^\alpha\vert(\alpha^n-\beta^n) si, et seulement si, (a,b,n)=(3,1,2)(a,b,n)=(3,1,2) ou bien (2,1,3)(2,-1,3).

    MA.


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