Lemme de Hensel et applications


  • Math&Maroc

    Bonjour,

    ce post peut très bien faire l'objet d'un article (ou note) de quelques pages pour présenter le lemme de Hensel (1861-1941), mathématicien allemand, ainsi que ses nombreuses applications dans la résolution de problèmes d'arithmétiques aux olympiades.

    On commence par donner une version simple du lemme de Hensel (il s'agit de la version 2 de ce lien).

    Soit fZ[X]f\in {\mathbb Z}[X] un polynôme unitaire et pp un nombre premier. Soient k1k\geq 1 et aZa\in {\mathbb Z} tels que f(a)0f(a)\equiv 0 (mod pkp^k) et f(a)0f'(a)\neq 0 (mod pp). Alors, il existe tZt\in {\mathbb Z} (unique modulo pp) tel que : f(a+tpk)0f(a+tp^k)\equiv 0 (mod pk+1p^{k+1}).

    On passe maintenant aux questions :

    1. Montrer le lemme de Hensel.
    2. Déterminer toutes les solutions de : x2+x+470x^2+x+47\equiv 0 (mod 737^3).
    3. Montrer que pour tout nNn\in {\mathbb N}, il existe aZa\in {\mathbb Z} tel que a3a+10a^3-a+1\equiv 0 (mod 5n5^n).
    4. Déterminer toutes les solutions de 5x3+x2105x^3+x^2-1\equiv 0 (mod 125125).
    5. Déterminer tous les polynômes ff à coefficients entiers tels que nmn\vert m si f(n)f(m)f(n)\vert f(m) (olympiade iranienne).
    6. Montrer que pour tout entier n2n\geq 2 il existe x1,x2,,xn,xn+1QZx_1,x_2,\cdots,x_n,x_{n+1}\in {\mathbb Q}\setminus{\mathbb Z} tels que [x13]+[x23]++[xn3]=[xn+13][x_1^3]+[x_2^3]+\cdots+[x_n^3]=[x_{n+1}^3], où [x][x] désigne la partie fractionnaire de xx. (olympiade roumaine).

    MA


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