Polynômes et coefficients


  • Math&Maroc

    Bonjour,

    en développant on écrit :

    (1x+2x2++nxn)2=a0+a1x+a2x2++a2nx2n\left (1\cdot x+2\cdot x^2+\cdots+n\cdot x^n\right)^2=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_{2n}x^{2n}.

    Montrer que :

    an+1+an+2++a2n=n(n+1)(5n2+5n+2)24a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots+a_{2n}= \dfrac{n(n+1)(5n^2+5n+2)}{24}.

    MA



  • En examinant de près le produit
    (1.x+2.x2++n.xn)×(1.x+2.x2++n.xn)(1.x + 2.x^2+\cdots+n.x^n)\times (1.x + 2.x^2+\cdots+n.x^n)

    on voit que la somme recherchée n'est autre que

    j=n+1j=2n(k=jnnk×(jk))\displaystyle\sum_{j=n+1}^{j=2n}\left(\displaystyle\sum_{k=j-n}^{n}k\times (j-k)\right)

    Après développement et calcul, on trouve la formule recherchée.


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