Une CNS pour les équations diophantiennes


  • Math&Maroc

    Bonjour,

    soient a,b,c,da,b,c,d des entiers relatifs. Montrer que l'équation x2+2ax+b=y2+2cy+dx^2+2ax+b=y^2+2cy+d admet une infinité de solutions (x,y)Z×Z(x,y)\in {\mathbb Z}\times{\mathbb Z} si, et seulement si, a2c2=bda^2-c^2=b-d.

    MA



  • (\Longleftarrow) si a2c2=bda^2-c^2=b-d alors l'équation en question équivaut à (x+a)2=(y+c)2(x+a)^2 = (y+c)^2 qui admet bien une infinité de solutions (n,n+ac)(n,n+a-c)

    (\Longrightarrow) Par contraposée
    Notons que L'équation équivaut à
    (x+a)2(y+c)2=dc2b+a2(x+a)^2 - (y+c)^2 = d-c^2-b+a^2 ou encore (x+ayc)(x+a+y+c)=db+a2c2(x+a-y-c)(x+a+y+c)=d-b+a^2-c^2
    Si le membre droit de la dernière équation est non nul, il admet un nombre fini de diviseurs ce qui se traduit (sauf erreur) un nombre fini de couples (x,y)(x,y) d'où le résultat par contraposition


Log in to reply
 

Looks like your connection to Expii Forum was lost, please wait while we try to reconnect.