Deux entiers


  • Math&Maroc

    Bonjour,

    existe t-il deux entiers strictement positifs mm et nn tels que :

    3n2+3n+7=m33n^2+3n+7=m^3 .

    MA.



  • On remarque que cela équivaut à : 3(n2+n+2)=(m1)(m2+m+1)3(n^2+n+2)=(m-1)(m^2+m+1) et on étudie les cas : m=0m=0 (mod 3) , m=1m=1(mod 3) , m=2 m=2 ( mod 3 ).


  • Math&Maroc

    D'après le théorème D'Euler (ou aussi en vérifiant chaque cas à la main) on sait qu'un cube ne peut être congru qu' à 1,0-1,0 ou 11 modulo 99. Or 3n2+3n+773n^2+3n+7\equiv 7 (mod 99) si n0n\equiv 0 (mod 33) ou n2n\equiv 2 (mod 33), et 3n2+3n+743n^2+3n+7\equiv 4 (mod 99) si n1n\equiv 1 (mod 33). En conclusion, l'équation 3n2+3n+7=m33n^2+3n+7=m^3 n'a pas de solutions entières.

    Source du problème : PAMO 2004.


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