Problème de divisibilité


  • Math&Maroc

    Bonjour,

    Montrer que le produit P=k=21000(k21)P=\displaystyle\prod_{k=2}^{1000} \left(k^2-1\right) est divisible par 54955^{495} mais non divisible par 54965^{496}.

    MA.



  • @MA en ecrivant chacun des k21k^2-1 dans le produit sous forme de (k1)(k+1)(k-1)(k+1) on remarque que le produit P=500.(999!)2P=500.(999!)^2 ,il suffit donc d'etudier sa valuation 5-adique grace à la formule de Legendre qui est egale à v5(P)=v5(500)+2v5(999!)=495v_5(P)=v_5(500)+2v_5(999!)=495
    cqfd!(sauf erreur)


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