Exercice arithmétique

Moustakbal

Exercice :
Trouver tous les nombres réels $t$ tels que : $\sqrt{7-t}+\sqrt{7+t}\in \mathbb{N}$ (entier naturel)

sarih

Raisonnons par analyse/synthèse
Soit $t$ un réel. Notons $N_t :=\sqrt{7-t} + \sqrt{7+t}$
Remarquons déjà que pour que $N_t$ soit entier, $t$ doit appartenir au segment $[-7,7]$
Ceci dit, on a

$\begin{equation*} N_t \in \mathbb{N} & \implies N_t^2 \in \mathbb{N} \
& \implies 2 \sqrt{49-t^2} \in \mathbb{N} \ & \implies 49 - t^2 \ & \implies \exists m \in \mathbb{N} \quad : \quad m^2 + 2t^2 = 98 \end{equation*}$

L'examen de la dernière équation montre qu'elle n'a pas de solutions entières autres que 7 et -7 pour t mais ces valeurs ne correspondent pas à des solutions du premier pb donc le pb n'a pas de solutions (sauf erreur ou omission)

Mountassir Farid

@sarih said in Exercice arithmétique:

Raisonnons par analyse/synthèse
Soit $t$ un réel. Notons $N_t :=\sqrt{7-t} + \sqrt{7+t}$
Remarquons déjà que pour que $N_t$ soit entier, $t$ doit appartenir au segment $[-7,7]$
Ceci dit, on a

$\begin{equation*} N_t \in \mathbb{N} & \implies N_t^2 \in \mathbb{N} \
& \implies 2 \sqrt{49-t^2} \in \mathbb{N} \ & \implies 49 - t^2 \ & \implies \exists m \in \mathbb{N} \quad : \quad m^2 + 2t^2 = 98 \end{equation*}$

L'examen de la dernière équation montre qu'elle n'a pas de solutions entières autres que 7 et -7 pour t mais ces valeurs ne correspondent pas à des solutions du premier pb donc le pb n'a pas de solutions (sauf erreur ou omission)

On aura plutôt $(\exists m \in\mathbb{N}):2\sqrt{49-t^2}=m\Leftrightarrow m^2+4t^2=196$ .
Est ce que tu peux détailler comment tu étudies cette dernière équation?

sarih

Puisque 196 n'est pas grand on se contente d'étudier tous les cas possibles :

$m^2$ est un carré parfait inférieur ou égal à $196$ , on énumère tous les cas possibles et en chaque on détermine la valeur possible de $t$ .

sarih

J'avais probablement tort, comme $t$ est réel, il y'a des solutions comme $4\sqrt{3}$ mais qui vont se déduire de la même approche de résolution suivie