Marathon des Inégalités



  • @mountassir-farid
    Salam à tous, en réalité il suffit d' utiliser le théorème de l' inégalité de Jensen (concavité). En effet en considerant la fonction:
    f (u) = (9+ 16 u ^2) ^ 1/2 - 4u.

    En remarquant que f"(u) est toujours positive, Jensen s' applique:

    1/3 [ f (a) + f (b) + f (c) ] >= f[(a+b+c) /3]
    Et donc
    1/3 [ (9+ 16 a ^2) ^ 1/2+ (9+ 16 b ^2) ^ 1/2 +
    (9+ 16 c ^2) ^ 1/2 - 4* (a+b+c) ]
    >=
    [9+ 16 ((a+b+c)/3) ^2]^ 1/2 - 4* (a+b+c) /3

    Or par AIG ( a+b+c >= 3*abc ^1/3 ) et comme f est aussi croissante sur le domaine de définition, on a enfin

    (9+ 16 a ^2) ^ 1/2 + (9+ 16 b ^2) ^ 1/2 +
    (9+ 16 c ^2) ^ 1/2 - 4* (a+b+c)
    >=
    3 * [[9+ 16 (abc) ^2]^ 1/2 - 4* abc ]=3
    car abc =1 par hypothèse.

    Excusez moi car je ne maitrise pas MATLAB.


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