Marathon des Inégalités
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AM.GM
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cauchy-schwartz :
Finalement :
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@Amine-medrare j'ai ps compris la premiere ligne est ce que tu as developpe??
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@Mohammed-Jamal oui
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@Amine-medrare verifie la deuxieme ligne peut etre il y'a une erreure
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@Amine-medrare Je n ai pas tres bien compris ta solution . Ou as tu utilisé la condition
? Tu es sur que le cas d egalite a été conservé dans toutes les majorations que tu as fait?
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@Mamoun ui peut être j'ai commis une erreur :
doit être sup ou egal à
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@Amine-medrare essaie de reformuler ta solution
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@Mohammed-Jamal Je propose une solution à ton problème en utilisant la méthode des multiplicateurs de Lagrange:
Soitoù et .
On a par exemple, et symétriquement on a les autres dérivées.
La fonctionatteint son minimum ou son maximum en tel que et .
La première équation donne:ou encore .
En combinant avec les autres équations, on aura:.
La fonctionn'est pas strictement monotone car sa dérivée s'annule, en changeant de signe, en un point qu'on note (On peut s'en rendre compte sur https://www.wolframalpha.com/input/?i=partial+(x(4x%2Fsqrt{16x^2%2B9}-1), sinon c'est difficile à voir sur papier).
Par symétrie du problème, on doit traiter 2 cas:- ) Premier cas:
ou .
La fonctionest strictement monotone sur et sur , ce qui assure que et vu que et , il s'ensuit que et que . - ) Second cas
ou .
On a d'une part, et vu que il vient que .
On a de plus.
Dans ce cas, on va montrer que. ( * )
En élevant au carré et en simplifiant par, cela équivaut à .
Or,.
En élevant au carré encore une fois, en divisant paret en réordonnant, l'inégalité équivaut à ou encore à .
En factorisant, on tombe sur, ce qui est évidemment vrai.
(Il est à noter qu'il n'y a pas d'égalité dans ce cas et les inégalités sont toutes strictes, car sinonce qui est faux).
On conclût, d'après le raisonnement par équivalences successives que l'inégalité ( * ) est vérifiée. - ) Conclusion: le gradient de
s'annule en , donc admet un minimum ou un maximum en ce point. Comme prend des valeurs positives (d'après le second cas ci-haut), on déduit que quelque soient tel que .
L'inégalité qu'on veut montrer au départ s'ensuit...
- ) Premier cas:
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probleme; soient
$a,b>0$ tq .
Montrer que:
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@mohammed-jamal said in Marathon des Inégalités:
probleme; soient
$a,b>0$ tq .
Montrer que:
Voici une solution: La condition se réécrit
.
Par symétrie, on peut supposer qu'on a:, ce qui donne: .
D'une part, on a:et . D'autre part, on a: .
On déduit aisément que.
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@mohammed-jamal said in Marathon des Inégalités:
Probleme 2:
Let; . Prove that:
En cherchant un peu, j'ai trouvé que cette inégalité est difficile. Néamoins, des solutions élémentaires existent, comme:
- La solution de ham-hap en suivant le lien https://artofproblemsolving.com/community/c6h498389
- La solution de dogsteven en suivant le lien https://artofproblemsolving.com/community/c6h498257p2799770
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Je propose un nouveau problème:
Problème 3:
Quelle est la plus grande valeur detel que: ?
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@mountassir-farid
Salam à tous, en réalité il suffit d' utiliser le théorème de l' inégalité de Jensen (concavité). En effet en considerant la fonction:
f (u) = (9+ 16 u ^2) ^ 1/2 - 4u.En remarquant que f"(u) est toujours positive, Jensen s' applique:
1/3 [ f (a) + f (b) + f (c) ] >= f[(a+b+c) /3]
Et donc
1/3 [ (9+ 16 a ^2) ^ 1/2+ (9+ 16 b ^2) ^ 1/2 +
(9+ 16 c ^2) ^ 1/2 - 4* (a+b+c) ]
>=
[9+ 16 ((a+b+c)/3) ^2]^ 1/2 - 4* (a+b+c) /3Or par AIG ( a+b+c >= 3*abc ^1/3 ) et comme f est aussi croissante sur le domaine de définition, on a enfin
(9+ 16 a ^2) ^ 1/2 + (9+ 16 b ^2) ^ 1/2 +
(9+ 16 c ^2) ^ 1/2 - 4* (a+b+c)
>=
3 * [[9+ 16 (abc) ^2]^ 1/2 - 4* abc ]=3
car abc =1 par hypothèse.Excusez moi car je ne maitrise pas MATLAB.