@ahmed-taha said in Equation diophantienne:
@Mountassir-Farid Une fonction f:N→C est multiplicative si et seulement si pour tout entiers premiers entre eux a,b : f(ab)=f(a)f(b)
Du coup, on ne peut pas justifier μ(aμ(a))=μ(a)μ(a)
Oui, tu as raison! J'ai utilisé la définition d'une fonction complètement multiplicative et μ ne l'est pas.
On ne peux pas justifier la relation μ(aμ(a))=μ(a)μ(a), car elle est fausse. Je corrige ma proposition ainsi:
@RedaB a montré que vp(a)μ(a)=vp(b)μ(b) est vérifiée pour tout nombre premier p et a déduit que a et b ont les même diviseurs premiers (pi)i=1,⋯,n.
D'une part, on a μ(b)=∏i=1n(1+vpi(b)) et μ(a)=∏i=1n(1+vpi(a)).
D'autre part, on a (∀i∈1,⋯,n):vpi(b)=vpi(a).μ(b)μ(a) et (∀i∈1,⋯,n):vpi(a)=vpi(b).μ(a)μ(b).
On suppose que μ(a)>μ(b). On a μ(b)=∏i=1n(1+vpi(a).μ(b)μ(a))>∏i=1n(1+vpi(a))=μ(a). Ce qui est absurde.
Le cas μ(a)>μ(b) donne une absurdité similaire. On conclût, finalement, que μ(a)=μ(b).