Je vais supposer que x,y,z sont strictement positifs.
La condition sur x,y,z s'écrit aussi x1+y1+z1=3
Du coup, l'inégalité à établir s'écrit aussi (x2y+y1)+(y2z+z1)+(z2x+x1)≥2(x+y+z)
qui devient alors triviale, compte tenu de l'astuce rappelée.