Inégalités

On sait que

a^2+b^2\geq2ab

a2+b2≥2ab
De même pour b et c (symétrique)
Alors

a^2+b^2+a^2+c^2+b^2+c^2\geq2ab+2bc+2ac

a2+b2+a2+c2+b2+c2≥2ab+2bc+2ac
Donc

2(a^2+b^2+c^2)\geq2(ab+bc+ac)

2(a2+b2+c2)≥2(ab+bc+ac)
D’où

a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ac

a2+b2+c2≥ab+bc+ac On a

(a^2+b^2+c^2)\geq(ab+bc+ac)

(a2+b2+c2)≥(ab+bc+ac)
Donc

2(a^2+b^2+c^2)\geq2(ab+bc+ac)

2(a2+b2+c2)≥2(ab+bc+ac)
Alors

2(a^2+b^2+c^2)+(a^2+b^2+c^2)\geq2(ab+bc+ac)+(a^2+b^2+c^2)

2(a2+b2+c2)+(a2+b2+c2)≥2(ab+bc+ac)+(a2+b2+c2)
D’où

3(a^2+b^2+c^2)\geq(a+b+c)^2

3(a2+b2+c2)≥(a+b+c)2 On a

(a^3+b^3+c^3)-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-(ab+ac+bc))

(a3+b3+c3)−3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2−(ab+ac+bc))
Donc

(a^3+b^3+c^3)-3abc\geq0

(a3+b3+c3)−3abc≥0 car

a;b;c\geq0

a;b;c≥0 et

a^2+b^2+c^2 \geq ab+bc+ac

a2+b2+c2≥ab+bc+ac
Alors

(a^3+b^3+c^3)\geq3abc

(a3+b3+c3)≥3abc On a

\dfrac{a+b}{ab}-\dfrac{4}{a+b}=\dfrac{(a+b)^2-4ab}{ab(a+b)}

aba+b−a+b4=ab(a+b)(a+b)2−4ab
Donc

\dfrac{a+b}{ab}-\dfrac{4}{a+b}=\dfrac{(a-b)^2}{ab(a+b)}\geq0

aba+b−a+b4=ab(a+b)(a−b)2≥0
Alors

\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\geq\dfrac{4}{a+b}

a1+b1≥a+b4 On a

(a+b+c)(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c})=1+\dfrac{a}{b}+\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{a}+1+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}+\dfrac{c}{b}+1

(a+b+c)(a1+b1+c1)=1+ba+ca+ab+1+cb+ac+bc+1
Donc, d'après l'inégalité

a+\dfrac{1}{a}\geq2

a+a1≥2, on aura

\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{c}+\dfrac{c}{a}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{b}\geq6

ba+ab+ca+ac+cb+bc≥6
c.a.d

\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{c}+\dfrac{c}{a}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{b}+3\geq9

ba+ab+ca+ac+cb+bc+3≥9
Alors

(a+b+c)(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c})\geq9

(a+b+c)(a1+b1+c1)≥9

Minoration sans contraintes
• Mountassir Farid