EXO MHI - C1 [Proposed]


  • Math&Maroc

    Dans un plan sont placés 66 points distincts. On trace toutes les droites déterminées par deux de ces points et on en compte 2016 distinctes.

    Justifiez que parmi ces 66 points, 4 au moins sont alignés.



  • Supposons par l absurde que il n en existe pas 4 alignés.
    Le nombre de droites determinés si il n y a pas 3 points alignés est C662=2145C_{66}^2 =2145
    Chaque trois points alignés font baisser le nombre de droites de 22 ( si A,B,CA,B,C alignés alors les droites (AB),(AC),(BC) (AB),(AC),(BC) confondus )
    Et deux de ces trois points ne peuvent être alignés avec un autre point car sinon on aurait 4 points alignés.
    Donc on ne peut faire baisser le nombre de droites que d un nombre pair à chaque fois.
    Hors 21452145 et 20162016 sont de parité différente. AbsurdeAbsurde
    Donc il existe parmi ces points au moins 4 qui sont alignés


  • Math&Maroc

    Très bien! Même solution que moi!


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