EXO MHI - G1 [Proposed]


  • Math&Maroc

    On va commencer avec de la géométrie plutôt élémentaire :D

    Soit ABCABC un triangle, admettant OO pour centre du cercle circonscrit. On construit un point PP sur la demi-drotie [AC)[AC) et un point QQ sur la demi-droite [BA)[BA) de sorte que les triangles BPQBPQ et ABCABC soient semblables, c'est-à-dire que l'on ait égalités d'angles (non orientés): ABC=BPQ \angle{ABC} = \angle{BPQ} et PQB=BCA \angle{PQB} = \angle{BCA} .

    Montrer que OO est l'orthocentre (intersection des hauteurs) du triangle BPQBPQ.

    Indication: Faire une figure propre à main levée!

    N'hésitez pas à publier des photos de vos feuilles pour ne pas avoir à retracer toutes les figures informatiquement! ;)



  • Soit B=ABC=QPB\angle B = \angle ABC = \angle QPB, A=BAC\angle A = \angle BAC
    Soit PP' le milieu de [AB][AB] et BB'=(BO)(QP)(BO)\cap(QP)

    • Lemme n 11: BPABPA est isocele en PP
      On a : ABCBPQ\triangle ABC \sim \triangle BPQ
      Donc : BAC=QBPBAP=ABP\angle BAC= \angle QBP \Leftrightarrow \angle BAP= \angle ABP

    • Lemme n 22 : [PO)[PO) est un hauteur de BQP\triangle BQP
      On a : PP' le milieu de [AB][AB]
      Donc (OP)(AB)(OP')\perp(AB) et (PP)(AB)(PP')\perp (AB)
      D'ou : (PO)(QB)(PO) \perp (QB) (car Q(AB)Q \in (AB) )

    • Lemme n 33 : PBPBP'B'PB est cyclique
      On a : PBB=BOBC=B180BOC2=B90+A\angle P'BB'=\angle B - \angle OBC = \angle B -\frac{180-\angle BOC}{2}=\angle B-90 +\angle A
      D'autre part , PPB=BPPB=B90+PBP=B90+A\angle P'PB'=\angle B - \angle P'PB = \angle B -90 +\angle PBP'= \angle B-90 +\angle A
      D'ou PBB=PPB\angle P'BB' = \angle P'PB'

    Par lemme n 33 : BBP=BPP=90\angle BB'P = \angle BP'P =90
    D'ou [BO)[BO) est aussi un hauteur de BPQ\triangle BPQ

    Conclusion : OO est l'orthocentre de BPQ\triangle BPQ.



  • 0_1481499392640_15515775_1367466486638131_237119653_o.jpg


  • Math&Maroc

    Je m'excuse pour le temps de réponse plutôt long!

    J'apprécie ta démonstration et ta figure est particulièrement claire.

    J'ai une démonstration légèrement différente à partir du lemme 3 que je peux te présenter si tu veux.



  • Oui d'accord , j'aimerais bien voir votre solution


Log in to reply
 

Looks like your connection to Expii Forum was lost, please wait while we try to reconnect.