EXO N - C 1[Proposed]


  • Math&Maroc

    Fahd veut colorier un n×n n \times n échiquier en utilisant seulement le blanc et le noir, de sorte que tout 2×22 \times 2 sous-carré contient 22 carrés noirs, et deux carrés blancs.
    par combien de façon peut-il colorier le n×nn \times n échiquier?



  • On va s interesser à la premiere ligne de l'échiquier.
    CasCas 11
    Si il existe deux carrés 1x11x1 consécutifs de la meme couleur. Alors le reste de la grille a une seule possibilité de coloriage.
    0_1481386005701_upload-83a61266-dfde-43e5-9807-74f3660e840d
    En effet pour chaque carré 2x2 de la ligne juste au dessous on aura 3carrés deja remplis ce qui laisse une seule possibilité pour le quatrieme. Et comme la deuxieme ligne aura egalement deux carrés consecutifs de la meme couleur , la grille aura une seule facon d etre coloriée.
    Et la premiere ligne peut etre choisi de 2n22^n -2 facons ( le nombre total de maniere de choisir la couleur des petits carrés aleatoirement qui est 2n2^n - le nombre total de maniere de choisir le coloriage de la premiere ligne tel qu' Il n existe pas deux carrés 1x11x1 consécutifs peints de la meme facon qui est de 22 )
    CasCas 22
    Il n existe pas deux carrés 1x11x1 consécutifs peints de la meme facon.
    Donc la premiere ligne sera soit NBNBNBNB...... Soit BNBNBNBN.....
    On traite ce deuxieme cas par symetrie.
    La deuxieme ligne aura alors deux possibilités.
    0_1481386420043_upload-b5366f40-c05d-4002-b6d9-457c5e505a06
    0_1481386428161_upload-3e331903-8706-43b3-ad02-8682bc429b2d
    Et ainsi de suite.
    Donc chaque choix de la premiere ligne nous donne 2n12^{n-1} facons soit 2n2^n facons en tout .
    En conclusion il y a 2n+2n22^n + 2^n -2 soit 2n+122^{n+1} -2 facons de procéder .
    Sauf erreur


  • Math&Maroc

    Bravo Mamoun :clap_tone2:


Log in to reply
 

Looks like your connection to Expii Forum was lost, please wait while we try to reconnect.