EXO N - NT 7 [Proposed]


  • Math&Maroc

    Soit n>1n \gt 1 un entier. Prouver qu'il existe une infinité de nombre premier pp tels que l'equation :
    2+x+x2++xp1=yn2+x+x^2+\cdots+x^{p-1}=y^n
    n'admet pas de solutions, pour x,y>1x,y \gt 1 des entiers.



  • @Amine-Natik
    Lemme:
    Soit d1d \geq 1 un entier:
    d1+x++xp1d0[p]d \mid 1+x+\cdots+x^{p-1} \Rightarrow d \equiv 0[p] ou d1[p] d\equiv 1 [p].

    Preuve du Lemme:
    soit dd un diviseur de 1+x++xp11+x+\cdots +x^{p-1}

    • Si pp divise dd, alors d0[p]d\equiv 0[p]
    • Sinon, soit qpq \neq p un diviseur premier de dd,
      on a q1+x++xp1=xp1x1q\mid 1+x+\cdots+x^{p-1}=\frac{x^{p}-1}{x-1}, et soit rr l'ordre de xx modulo qq,
      donc rpr=1r\mid p \Rightarrow r=1 ou r=pr=p, Si r=1r=1 alors x1[q]01+x++xp1p[q]x\equiv 1 [q] \Rightarrow 0\equiv 1+x+\cdots+x^{p-1} \equiv p[q] Absurde.
      alors r=pr=p et d'après le théorème de Fermat pq1p \mid q-1 et d'où tout diviseur premier de dd est congru à 11 modulo pp et finalement : d1[p]d\equiv 1[p].

    Solution:
    On prend pp un nombre premier strictement supérieur à 2n12^{n}-1.
    On a 1+x+...+xp1=yn1=(y1)(1+y+...+yn1)1+x+...+x^{p-1}=y^{n}-1=(y-1)(1+y+...+y^{n-1})
    y1y-1 est un diviseur de 1+x++xp11+x+\cdots+x^{p-1}, en utilisant le Lemme:
    y10[p]  ou  y11[p]y-1\equiv 0[p] \ \ ou\ \ y-1\equiv 1[p]

    1. si y1[p]y\equiv 1[p] alors 1+y+...+yn1n(mod p)1+y+...+y^{n-1}\equiv n(mod \ p) impossible (car pp ne divise ni nn ni n1n-1)
    2. si y2[p]y\equiv 2[p] alors 1+y+...+yn12n1(mod p)1+y+...+y^{n-1}\equiv2^{n}-1(mod \ p) impossible (car pp ne divise ni 2n12^{n}-1 ni 2n22^{n}-2)
      et donc l'équation n'a pas de solutions.

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