Ensemble de restes


  • Math&Maroc

    Soit p3p \geq 3 un premier, et soit {a1,a2,,ap1} \{ a_1,a_2, \ldots, a_{p-1} \} et {b1,b2,,bp1} \{ b_1,b_2, \ldots, b_{p-1} \} deux classes de restes complètes modulo pp. Montrez que {a1b1,a2b2,,ap1bp1} \{ a_1 b_1,a_2b_2, \ldots, a_{p-1}b_{p-1} \} n'est pas une classe de reste complète modulo pp.

    Proposé par Titus Adreescu



  • Sachant que a1.a2.ap11[p]a_1.a_2\cdots.a_{p-1}\equiv-1[p] et b1.b2.bp11[p]b_1.b_2\cdots.b_{p-1}\equiv-1[p] (théorème de Wilson) on a (a1b1).(a2b2).(ap1bp1)1[p](a_1b_1).(a_2b_2).\cdots(a_{p-1}b_{p-1})\equiv 1 [p] , ce qui implique que le suite des produits (aibi)i(a_ib_i)_i n'est pas une classe de reste complète modulo pp.


  • Math&Maroc

    Bonne solution!
    Elle utilise le célèbre théorème de Wilson:
    Si p3p \geq 3 est un premier alors 1.2.3(p2)(p1)1[p]1.2.3 \ldots (p-2)(p-1) \equiv -1[p]
    Dont la démonstration est assez intéressante!


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