[IMO 2014, P1] Suite


  • Math&Maroc

    Petit coup de nostalgie!

    Soit a0<a1<a2a_0 \lt a_1 \lt a_2 \ldots une suite infinie d'entiers positifs. Montrez qu'il existe un unique entier n1n\geq 1 tel que:
    an<a0+a1+a2++annan+1 a_n \lt \frac{a_0+a_1+a_2+\cdots+a_n}{n} \leq a_{n+1}

    Proposé par Gerhard Wöginger, Autriche.

    Ce P1 a été réussi par 3 des marocains avec 7/7 et 2 d'entre eux avec 3/7 cette année.



  • Définissons la suite bn=a0+a1+.....+annan b_{n}=a_{0}+a_{1}+.....+ a_{n} - n a_{n} pour n1n\geq 1
    bn+1=a0+a1+.....+an+1(n+1)an+1 b_{n+1}=a_{0}+a_{1}+.....+ a_{n+1} - (n+1) a_{n+1} =a0+a1+.....+an+nan+1=a_{0}+a_{1}+..... + a_{n}+ -n a_{n+1}
    Donc la partie gauche de l inégalité equivaut à bn b_{n} >00 et la droite à bn+10 b_{n+1}\leq 0
    On cherche donc à demontrer qu il existe un unique indice nn tel que bnb_{n}>00 and bn+10 b_{n+1}\leq0
    On a b1=a0b_{1}=a_{0}>00 et bn+1bn=n(anan+1) b_{n+1} - b_{n}=n(a_{n}-a_{n+1}) <00
    Donc bn b_{n} est une suite décroissante strictement dans Z et son premier terme est positif
    D'ou il existe obligatoirement un rang n unique ou on aura bnb_{n}>00 and bn+10 b_{n+1}\leq0
    CQFD CQFD
    C'est un exercice assez jolie et dont l'idée sert à la résolution de plusieurs exercices notamment de combinatoire ( J'ai d ailleurs posté un exercice C1 de la shortlist qui utilise dans sa résolution une idée assez proche)


  • Math&Maroc

    Jolie solution Mamoun! Tu as du remarqué que je m'étais trompé sur la monotonie de la suite (Elle est évidemment croissante sinon elle est finie!).
    Remarque: La partie gauche équivaut à bn>0b_n \gt 0 et la partie droite à bn+10b_{n+1} \leq 0.
    On retrouve à nouveau le principe de la descente infinie, fréquemment utilisée dans tout les domaines: Il ne peut exister une suite d'entiers positifs strictement décroissante.



  • @Amine-Bennouna Ah oui merci pour la correction.


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