[IMO 1995] Inégalité


  • Math&Maroc

    Soit aa, bb et cc trois réelles positifs tel que abc=1abc=1. Montrez que: 1a3(b+c)+1b3(a+c)+1c3(b+a)32 \frac{1}{a^3(b+c)} + \frac{1}{b^3(a+c)} + \frac{1}{c^3(b+a)} \geq \frac{3}{2}



  • 1a2ab+ac+1b2ab+bc+1c2bc+ac\frac{\frac{1}{a^2}}{ab+ac}+\frac{\frac{1}{b^2}}{ab+bc}+\frac{\frac{1}{c^2}}{bc+ac} (1a+1b+1c)22(ab+ac+bc)\geq \frac{ ( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} )^2 }{2(ab+ac+bc)}
    =(ab+ac+bc)22(ab+ac+bc)=ab+ac+bc23(abc)2/32=32 = \frac{(ab+ac+bc)^2}{2(ab+ac+bc)} = \frac{ab+ac+bc}{2} \geq \frac{3 (abc)^{2/3}}{2} = \frac{3}{2}
    On peut également utiliser la subsitition a=1xa=\frac{1}{x} b=1yb=\frac{1}{y} c=1zc= \frac{1}{z} avec xyz=1 xyz=1 Le résultat sortira tres facilement


  • Math&Maroc

    Bien joué!
    Pour précision:

    • La première inégalité de la solution utilise le lemme connu sous le nom de T2: Soient a1,,ana_1,\ldots,a_n et x1,,xnx_1,\ldots,x_n des réels strictement positifs. Alors a12x1++an2xn(a1++an)2x1++xn,\frac{a_1^2}{x_1} + \ldots + \frac{a_n^2}{x_n}\geq \frac{(a_1 + \ldots + a_n)^2}{x_1 +\ldots + x_n},
      avec égalité lorsque les vecteurs (a1,,an)(a_1,\ldots,a_n) et (x1,,xn)(x_1,\ldots,x_n) sont colinéaires.
      Le lemme T2 n'est qu'une reformulation pratique de Cauchy-Schwarz.
    • La deuxième inégalité utilise l'IAG (ou AMGM).

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