Exercice [Unsolved]



  • Trouver tous les nombres irrationnelles aa sachant que a2+2aa^2+2a et a36aa^3-6a sont des nombres rationnelles .


  • Math&Maroc

    @Reda-Mouqed a2+2aa^2+2a ne peut etre 00, En prenant le quotient, tu trouve que le nombre:
    a26a+2=r\frac{a^2-6}{a+2}=r
    est un rationel, ainsi: a2ra=2r+6a^2-ra=2r+6 est rationel, mais a2+2aa^2+2a est rationel aussi, en prenant la difference, (2+r)a(2+r)a est rationel, alors que aa est irrationel, d'ou r=2r=-2. Je te laisse finir l'argument.



  • Mercii ! Tres bonne idee :)
    En remplacant r=2r=-2 dans l' équation , on trouve : a2+2a=4+6a^2+2a=-4+6
    (a+1)2=3\Leftrightarrow (a+1)^2=3
    D'ou a=1±3a=-1 \pm \sqrt{3}



  • Solution by:Lakhrissi Samir
    we have a2+2aQ(a+1)2Q:(1)a^2+2a\in \mathbb{Q} \Rightarrow (a+1)^2\in \mathbb{Q} : (1).
    Now,set b=a1b=a-1,hence b2Qb^2\in \mathbb{Q} .If we subtitute in the second condition we shall obtain b33b23b+5Qb^3-3b^2-3b+5 \in\mathbb{Q} ,but 3b+5Q-3b+5 \in\mathbb{Q}.
    So,b33bQb(b23)Q.b^3-3b \in \mathbb{Q} \Rightarrow b(b^2-3)\in\mathbb{Q}.

    • If b230b^2-3 \neq 0,then bQb \in \mathbb{Q} which is false.

    • So,b23=0b=+3b^2-3=0 \Rightarrow b=+\sqrt3 or b=3b=-\sqrt3
      that is a=1+3a=1+\sqrt3 or a=13a=1-\sqrt3 .


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