EXO N - NT 4 [Proposed]


  • Math&Maroc

    Prouver que si a,ba,b sont deux entiers positifs, alors (a+12)n+(b+12)n(a+\frac{1}{2})^n+(b+\frac{1}{2})^n est un entier seulement pour un nombre fini d'entiers positifs nn.



  • On cherche à montrer que M=(2a+1)n+(2b+1)n2nM=\frac{(2a+1)^n + (2b+1)^n }{2^n} est un entier pour un nombre fini d entiers nn
    On traitera 3 cas .
    a=2c a=2c et b=2db=2d donc M=(4c+1)n+(4d+1)n2n M= \frac{(4c+1)^n+(4d+1)^n }{2^n } Le numérateur est congru à 2 modulo 4. Donc pour tout n2n\geq 2 MM n est pas entier
    a=2c+1a=2c+1 et a=2d+1a=2d+1 M=(4c+3)n+(4d+3)n2n M=\frac{(4c+3)^n + (4d+3)^n }{2^n} La aussi Le numérateur est congru à 2 modulo 4. Donc pour tout n2n\geq 2 MM n est pas entier
    a=2ca=2c et b=2d+1 b=2d+1 (par symétrie il suffit de tratier un seul cas
    M=(4c+1)n+(4d+3)n2nM=\frac{(4c+1)^n+(4d+3)^n }{2^n } Pour n pair Le numérateur est congru à 2 modulo 4. Donc pour tout nn pair pair 2\geq 2 MM n est pas entier
    Pour n impair . On a 4 divise (4c+4d+4)(4c+4d+4) et pgcd(2,4c+1,4d+3)=1pgcd(2,4c+1,4d+3)=1
    On peut donc applique LTELTE
    Donc V2((4c+1)n+(4d+3)n)=V2(4c+4d+4)+V2(n)=2+V2(c+d+1)V_{2} ((4c+1)^n +(4d+3)^n ) = V_{2} (4c+4d+4) +V_{2} (n) = 2+ V_{2}(c+d+1)
    Donc pour pour tout (a,b)(a,b) si on prend nn suffisamment grand on aura n n > 2+V2(c+d+1)) 2 + V_{2}(c+d+1) )
    Donc Il existe un nombre fini d entiers nn tel que MM est un entier.
    CQFDCQFD
    Sauf erreur :package:


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