Easy one but tricky



  • Find all functions f:[0,1]Rf:[0,1]\to R ,for which we have; (xy)2f(x)f(y)xy(x-y)^2 \leqslant\left | f(x)-f(y) \right |\leqslant \left | x-y \right |.



  • Remarquons premierement que f est continue.
    Supposons que f(x)=f(y)f(x)=f(y) L assertion P(x,y) P(x,y) nous donnera x=yx=y
    Donc f f est est injective injective etet continuecontinue doncdonc ff monotone monotone
    Remarquons aussi que si f(x) solution alors f(x)+a solution et a-f(x) solution.
    On peut donc supposer que f croissante et que f(0)=0 f(0)=0 ( Quitte à prendre un plus grand aa et travailler avec af(x)a-f(x) )
    P(1,0)P(1,0) donne f(1)=1f(1)=1 donc f(x)f(x) appartient à [0,1] [0,1] quand xx appartient a 0,10,1
    P(x,0)P(x,0) donne f(x)xf(x)\leq x
    P(x,1)P(x,1) donne 1f(x)1x 1-f(x)\leq 1-x ( car f(x)=1 f(x)=\leq1 et x1x\leq 1 Donc f(x)x f(x)\geq x
    D ou f(x)=x f(x)=x
    Donc les solutions sont toutes les fonctions de la forme f(x)=x+af(x)=x+a f(x)=axf(x)=a-x avec aa de RR



  • @Mamoun Super bro!:)


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