EXO N - NT 3 [Proposed]


  • Math&Maroc

    Trouver tous les entiers n1n \geq 1 pour lesquelles il existe un polynôme PP vérifiant:
    (i):(aZ):P(a)0[n](i) : (\exists a\in \mathbb{Z}): P(a) \equiv 0 [n] .
    (ii):(bZ):P(b)1[n](ii): (\exists b\in \mathbb{Z}): P(b) \equiv 1 [n] .
    (iii):(xZ):P(x)0(iii): (\forall x \in \mathbb{Z}): P(x) \equiv 0 ou 1[n]1 [n].



  • @Amine-Natik
    soient pp et qq deux diviseurs premiers de nn
    Pour tout entier x on a (P(x)0(modp)P(x)\equiv 0(modp) et P(x)0(modq)P(x)\equiv 0(modq)) ou (P(x)1(modp)P(x)\equiv 1(modp) et P(x)1(modq)P(x)\equiv 1(modq)) (a)
    on suppose que pqp\neq q
    on considere les ensembles
    E={ x entier / p divise P(x) }
    F={ x entier / p divise P(x)-1 }
    on suppose que l un d eux est fini par symmetrie on suppose que F qui est fini il existe donc un M tq pour tout entier x avec xM\left | x \right |\geq \left | M \right | p divise P(x) et puisque P est un polynome alors pour tout entier x p divise P(x) ce qui contredit (ii)
    On a donc les deux ensembles sont infinis on peut donc choisir un N premier avec q et qui s écrit sous la forme P(x) ou P(x)-1 ce qui contredit (a)
    donc on a p=qp=q et donc n est une puissance d un nombre premier
    il est clair que 1 verifie l hypothese de l exercice on pose alors n=pmn=p^{m} avec m1m\geq 1
    en prenant P(x)=xφ(pm)P(x)=x^{\varphi (p^{m})} on voit que n verifie les 3 conditions
    en conclusion les entiers naturels n sont 1 et les puissances des nombres premiers



  • @Fahd-Et-tahery said in Exo difficile:

    et puisque P est un polynome alors pour tout entier x p divise P(x)

    Tu peux expliquer cette phrase?


Log in to reply
 

Looks like your connection to Expii Forum was lost, please wait while we try to reconnect.