EXO N - NT 2 [Proposed]


  • Math&Maroc

    Prouver que pour tout entier m1m \geq 1 , il existe un nombre premier dont la somme des chiffres est >m \gt m .



  • @Amine-Natik
    on montre le résultat par récurrence sur mm
    pour m=1,2,3,4,5,6m=1,2,3,4,5,6 le résultat est clair
    on prend m6m \geq 6 on suppose qu il existe un nombre premier pmp_{m} tq la somme de ses chiffres est >m \gt m
    puisque m6m\geq 6 alors pm7p_{m}\geq 7 donc pgcd(pm,10)=1pgcd(p_{m},10)=1 alors d apres le theoreme de dirichlet il existe un nombre premier pm+1p_{m+1} de la forme 10Npmn+pm10^{Np_{m}}n+p_{m} (N_p_m est le nombre des chiffres de p_m) donc la somme de ses chiffres est >m+1 \gt m+1 .


  • Math&Maroc

    Bravo Fahd.
    En effet le théorème de Derichlet est l'idée de l'exercice, une autre solution plus facile :
    Soit m1m \geq 1, il suffit alors de prendre pp de la forme p=10mn+1111p=10^{m}n+11\cdots11, le chiffre 11 est répété mm fois. donc la somme des chifres de pp est >m \gt m.


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