NT2



  • On considère la suite (an)(nN0)(a_n)(n\in\mathbb{N_0}) comme suit: an=1n(n+1)a_n=\frac{1}{n(n+1)}
    On nomme un couple d'entiers strictement positifs (m,n)(m,n) avec mnm\leq n sage si am+am+1+...+an=129a_m+a_{m+1}+...+a_n=\frac{1}{29}
    Trouver la somme des éléments de tous les couples sages. (càd on considère au sein de chaque couple la somme des 22 éléments puis on additionne toutes les sommes trouvées).



  • Remarquons que an=1n1n+1 a_n= \dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{n+1}
    Donc la somme donnée est égale à 1m1n+1=129 \dfrac{1}{m} -\dfrac{1}{n+1} = \dfrac{1}{29}
    m=28 m=28 n=811 n=811 est le seul couple positif solution
    Donc la somme des élements des couples sages est 839 839
    Sauf erreur



  • Réponse correcte ( mais la solution est plus ou moins incomplète , je souligne la partie où on doit trouver m, n ; pour les intéressés :
    29(n+1m)=m(n+1)29(n+1-m)=m(n+1)
    m=29n+1m=\dfrac{29}{n+1}
    n+30=29292n+30 {n+30}=29-\dfrac{29^2}{n+30} .
    On a donc n+30292n+30\mid 29^2.
    Or n>0n\gt 0 donc n+300,29 n+30\ne 0,29 ainsi n+30=292n+30=29^2 puis m=28 m=28
    En bref, l'unique couple sage est (m,n)=(28,29230)(m,n)=(28,29^2-30) et la réponse est 2922=839.29^2-2=839.



  • @Lbk-Yassine Je propose une alternative pour trouver m,n
    On pose n+1= y
    1m1y=129 \frac{1}{m} - \frac{1}{y } = \frac{1}{29} yx=my29 y-x = \frac{my}{29}
    Donc 2929 divise mm ou 29 29 divise yy . Car 2929 est est premierpremier
    Cas 1 : On pose y=29ay=29a . On obtient 29a=m(a+1)29a = m(a+1)
    Comme pgcd(a,a+1)=1pgcd(a,a+1)=1 Alors a+1 a+1 divise 2929 donc a=28 a=28 ( car a positif)
    On remplace pour obtenir m=28 m=28 n=811 n=811
    Cas 2 On pose m=29am=29a On obtient a=yy+29 a= \frac{y}{y+29} = qui n appartient pas a N0N_{0} pour tout yy positif


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