Exercice AA-002-C


  • Math&Maroc

    Le Monde de Nathan (titre original : X+Y) est un film britannique réalisé par Morgan Matthews, sorti au cinéma en 2014. Le héros du film, Nathan, est un garçon autiste. À l'âge de 9 ans il perd son père avec qui il avait réussi à développer une complicité. Parce qu'il est un prodige en mathématiques, il suit des cours particuliers chez un professeur, Martin Humphreys, puis quand il a 14 ans, il est sélectionné pour représenter la Grande-Bretagne aux Olympiades internationales de mathématiques.
    Dans une séquence du film, on le voit résoudre les 3 problèmes proposés . En faisant attention, j'ai pu relever les énoncés de ces trois exercices , les voici :
    (1) Un carré 2n×2n2n\times 2n est divisé en 4n24n^2 petits carrés comme pour un échiquier. On suppose que chaque petit carré est colorié avec une des 4 couleurs de sorte que chaque bloc de 2×22\times 2 petits carrés contient les 4 couleurs. Montrer que les 4 petits carrés situés aux coins de l'échiquier sont coloriés avec des couleurs différentes.

    (2) Quels sont tous les entiers strictement positifs nn pour lesquels l'ensemble {1,2,,n}\{1,2,\cdots,n\} peut être subdivisé en deux sous-ensembles AA et BB de sorte que la somme des carrés des éléments de AA est égale à la somme des carrés des éléments de BB ?

    (3) Ce problème concerne les polynômes à coefficients réels. Soit f(x)=2013x+1f(x)=2013 x+1. Supposons que gg et hh sont deux polynômes tels que f(g(x))=g(f(x))f(g(x))=g(f(x)) et f(h(x))=h(f(x))f(h(x))=h(f(x)). Montrer que g(h(x))=h(g(x))g(h(x))=h(g(x)).


  • Math&Maroc

    J'avais eu exactement le même réflexe que vous en regardant le film!



  • 0_1480516039032_P1.jpg ! !
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    Ma solution pour le probleme 1. Quelqu un pourrait il me donner son avis dessus?



  • @Mamoun A la fin de la démonstration . Lire il y a deja un vert sur (1,2n) bien sur et non (1,2m) (Par hypothese)


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