Exercice AA-005-A


  • Math&Maroc

    (xn)(x_n) est la suite définie par x1=1438x_1=1438 et pour tout n1n\geq 1

    xn+1=(2+1)xn1(2+1)+xnx_{n+1}=\dfrac{(\sqrt{2}+1)x_n-1}{(\sqrt{2}+1)+x_n}. Déterminer x2017x_{2017}.



  • @Mohammed-Aassila
    j ai trouve que pour tout entier naturel n
    x8n+1=1438x_{8n+1}=1438



  • 0_1506070153460_fourum 6.bmp



  • On a xn+1=axn1a+xnx_{n+1}=\frac{ax_{n}-1}{a+x_{n}}a=21a=\sqrt{2}-1

    xn+1=f(xn)x_{n+1}=f(x_{n}) avec f(x)=ax1a+xf(x)=\frac{ax-1}{a+x}

    f2(x)=ff(x)f^{2}(x)=f\circ{f}(x)=af(x)1a+f(x)\frac{af(x)-1}{a+f(x)}=(a21)x2a2ax+a21\frac{(a^{2}-1)x-2a}{2ax+a^{2}-1}

    or a21=2aa^{2}-1=2a

    alors f2(x)=x1x+1f^{2}(x)=\frac{x-1}{x+1}

    de même f4(x)=f2(x)f2(x)f^{4}(x)=f^{2}(x)\circ{f^{2}(x})=f2(x)1f2(x)+1\frac{f^{2}(x)-1}{f^{2}(x)+1}

    f4(x)=1xf^{4}(x)=\frac{-1}{x}

    f8(x)=f4(x)f4(x)f^{8}(x)=f^{4}(x)\circ{f^{4}(x})=1f4(x)\frac{-1}{f^{4}(x)}=xx

    alors f8(x)=xf^{8}(x)=x

    or xn+8=f8(xn)=xnx_{n+8}=f^{8}(x_{n})=x_{n}

    Ainsi (xn)(x_{n}) est une suite périodique de période p=8p=8 d'où :

    x2017=x1+8252=x1=1438x_{2017}=x_{1+8*252}=x_{1}=1438

    \rightsquigarrow Plus d'information sur les suites périodiques :
    http://maths-akir.midiblogs.com/media/02/01/3748861000.pdf


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