Exercice AA-004-NT


  • Math&Maroc

    NN est un entier strictement positif. On suppose qu'il existe exactement 2017 paires ordonnées (x,y)(x,y) d'entiers strictement positifs tels que :
    1x+1y=1N.\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{N}.
    Montrer que NN est un carré parfait.



  • la condition est équivalente à: (xN)(yN)=N2(x-N)(y-N) = N^2 (avec xNx \geq N et yN y\geq N )
    donc le nombre de solutions (2017) est le nombre de diviseurs de N2N^2
    on pose N=P1α1P2α2..PkαkN=P_1^{\alpha_1}P_2^{\alpha_2}..P_k^{\alpha_k}
    donc d(N2)=(2α1+1)(2α2+1)..(2αk+1)d(N^2) = (2\alpha_1+1)(2\alpha_2 + 1)..(2\alpha_k+1)
    mais comme d(N2)=2017d(N^2 )=2017 et 20172017 est premier on deduit que N2N^2 n'admet qu'un seul diviseur notons le pp dont la valuation p-adique est clairement 1008
    on a N2=p1008N^2 = p^{1008} et enfin N=p504N = p^{504} ce qui est carre parfait


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