Exercice AA-004-A

  • Math&Maroc

    (a) a,ba,b et cc des réels tels que a+b+c=0a+b+c=0. Montrer que
    a3+b3+c3>0a5+b5+c5>0.a^3+b^3+c^3\gt 0\Longleftrightarrow a^5+b^5+c^5\gt 0.
    (b) a,b,ca,b,c et dd des réels tels que a+b+c+d=0a+b+c+d=0. Montrer que
    a3+b3+c3+d3>0a5+b5+c5+d5>0a^3+b^3+c^3+d^3\gt 0\Longleftrightarrow a^5+b^5+c^5+d^5\gt 0.

  • a3+b3+c30 a^3 +b^3 + c^3 \geq 0 donc apres quelques calculs ab(a+b)0 -ab(a+b)\geq 0
    a5+b5+c50 a ^5 +b^5+ c^5 \geq 0 équivaut apres quelques calculs à 5ab(a+b)(a2+b2+ab)0 -5ab(a+b)(a^2 +b^2 + ab ) \geq 0
    Ce qui est vrai car ab(a+b)0 -ab(a+b)\geq 0 et a2+b2+ab0 a^2+b^2+ab \geq 0

  • Pour a) on utilise si a+b+c=0

    • (a^5 +b^5 +c^5)/5 = (a²+b²+c²)(a^3 +b^3 +c^3)/6
      en la démontrant par a^3 +b^3 +c^3=3abc
      puis c'est immédiat .

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