Exercice AA-003-NT


  • Math&Maroc

    Déterminer tous les entiers strictement positifs xx et yy pour lesquels xyx\leq y et le nombre

    p=(x+y)(xy4)xy+13p=\dfrac{(x+y)(xy-4)}{xy+13} est premier.



  • @Mohammed-Aassila
    on a A=pgcd(xy4,xy+13)A=pgcd(xy-4,xy+13)divise 17
    1° si A=17A=17
    on a alors soit xy417=1\frac{xy-4}{17}=1 soit x+yxy+1317=1\frac{x+y}{\frac{xy+13}{17}}=1 dans le premier cas on obtient x et y sont les solutions de l equation T22pT+21=0T^{2}-2pT+21=0 donc 4p2844p^{2}-84 est un carre parfait et on obtient les solutions (1,21) et (3,7)
    dans le deuxieme cas l eqution n admet pas de solutions dans N
    2° si A=1A=1
    alors soit xy4=1xy-4=1 soit x+yxy+13=1\frac{x+y}{xy+13}=1 dans le premier cas on obtient 324p220324p^{2}-20 est un carre parfait et on verifie facilement qu il n existe aucun p dans ce cas
    dans le deuxieme cas l equation n admet pas de solutions dans N
    donc les seules soulutions sont (1,21) et (3,7)
    (je ne suis pas sur des calculs)


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