# Exercice AA-002-NT

• $a$ et $b$ sont des entiers tels que $(a^2+b^2)\vert (2a^3+b^2)$.

Montrer que $(a^2+b^2)\vert (2a^3b^2+ab^2+3b^4)$.

• @Mohammed-Aassila
on a $a^{2}+b^{2}$ divise $(a^{2}+b^{2})(2a+1)$ donc $a^{2}+b^{2}$ divise $a^{2}+2ab^{2}$

d ou $a^{2}+b^{2}$ divise $a^{3}+2a^{2}b^{2}$ et on a $a^{2}+b^{2}$ divise $(a^{2}+b^{2})(a+2b^{2})$
ce qui donne $a^{2}+b^{2}$ divise $ab^{2}+2b^{4}$ et puisque $a^{2}+b^{2}$ divise $2a^{3}b^{2}+b^{4}$
alors $a^{2}+b^{2}$ divise $2a^{3}b^{2}+ab^{2}+3b^{4}$

• On a $a^2 + b^2$ $\vert$ ($2a^3$+$b^2$).$a$ donc $a^2 + b^2$ $\vert$ 2$a^4 +ab^2$
et on a $a^2 + b^2$ $\vert$ ($2a^3+b^2$).$b^2$ donc $a^2 + b^2$ $\vert$ 2$a^3b^2 + b^4$
donc $a^2 + b^2$ $\vert$ $2a^3b^2 + b^4 + ab^2 + 2a^4$
d'où $a^2 + b^2$ $\vert$ $2a^3b^2 + ab^2 + 3b^4 -2(b^4-a^4)$
et $b^4 - a^4 = (b^2-a^2)(a^2+b^2)$

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