Exercice AA-001-C


  • Math&Maroc

    On considère un ensemble AA contenant 11 carrés parfaits. Montrer qu'il existe 6 parmi eux, a2,b2,c2,d2,f2a^2,b^2,c^2,d^2,f^2 et e2e^2 tels que

    a2+b2+c2=c2+d2+e2a^2+b^2+c^2= c^2+d^2+e^2 (mod 12).



  • Les restes modulo 12 des carrés parfaits sont 0,1,4,90,1,4,9
    On prend les 11 carrés parfaits D apres le principe des tiroirs au moins 2 ont le meme reste par la division euclidienne par 12.
    On les enleve et on reitere le procédé avec les 9 carrés restants puis avec les 7. Et ces 3 couples que l on a trouvé qui contiennent 6 carrés parfaits distincts répondent à l exercice.
    Si on note ces couples (a2,d2) (a^2,d^2) (b2,e2) (b^2,e^2) (c2,f2) (c^2,f^2) Alors 12 divise a2+b2+c2d2e2f2 a^2+b^2+c^2-d^2 - e^2 - f^2
    Remarque ; En réiterant le processus avec les 5 carrés parfaits restants on peut meme en trouver 8 a,b,c,d,e,f,g,ha,b,c,d,e,f,g,h tel que 12 divise a2+b2+c2+d2e2f2g2h2 a^2+b^2+c^2+d^2 - e^2 - f^2 - g^2 -h^2 Ou encore on peut trouver 4 sextuplé (a,b,c,d,e,f)(a,b,c,d,e,f) distincts vérifiant les conditions de l exercice .
    Sauf erreur.



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  • @Ahmed--ASINI Ton affirmation est fausse .
    Si a² congru a 1 b² a 9 c² a 1 donc a2+b2+c2 a^2+b^2+c^2 congru a 11 mod 12. Si a² congru a 9 mod 12 et b² a 9 et c² a 1 alors a2+b2+c2 a^2+b^2+c^2 congru a 7 mod 12
    Et supposons que ce soit vrai je n ai pas compris comment tu as appliqué les tiroirs



  • @Mamoun
    sorry j'ai commis une faute au calculs


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