exercice 3 olympiades 1bac



  • Bonjour je chercherais une solution pour cet exercice qui a été posé lors de la deuxième épreuve des olympiades de mathématiques pour les élèves en première

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  • @maths-addict said in exercice 3 olympiades 1bac:

    Bonjour je chercherais une solution pour cet exercice qui a été posé lors de la deuxième épreuve des olympiades de mathématiques pour les élèves en première

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    L'inégalité équivaut à a(yc)+x(bz)0a(y-c)+x(b-z)\ge0 ou à M0M\ge0 où on a définit M=a(yc)+x(bz)M = a(y-c)+x(b-z).
    En utilisant a+b+c=x+y+za+b+c = x+y+z, on écrit yc=a+bxzy-c = a+b-x-z et bz=x+yacb-z = x+y-a-c.
    Il s'ensuit que M=a(a+bxz)+x(x+yac)=(ax)2+a(bz)+x(yc)M = a(a+b-x-z) + x(x+y-a-c) = (a-x)^2+a(b-z)+x(y-c).
    Par conséquent, 2M=M+M=(ax)2+a(bz)+x(yc)+a(yc)+x(bz)=(ax)2+(a+x)(b+ycz)2M = M + M = (a-x)^2+a(b-z)+x(y-c) + a(y-c)+x(b-z) = (a-x)^2+(a+x)(b+y-c-z).
    Puisque b+yc+zb+y\ge c+z, on trouve b+ycz0b+y-c-z\ge0 et puisque a+x0a+x\ge0, on obtient, d'une part, (a+x)(b+ycz)0(a+x)(b+y-c-z)\ge0. On a, d'autre part, (ax)20(a-x)^2\ge0.
    En sommant les deux dernières inégalité, membre par membre, on trouve 2M=(ax)2+(a+x)(b+ycz)02M=(a-x)^2+(a+x)(b+y-c-z)\ge0.
    Cela donne M0M\ge0. CQFD. L'inégalité devient égalité quand a=xa=x et b+y=c+zb+y=c+z.


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