Equation diophantienne



  • Résoudre l'équation diophantienne:
    aμ(a)=bμ(b)a^{\mu (a)}=b^{\mu (b)}
    μ\mu est la fonction qui associe à chaque entier le nombre de ses diviseurs positifs.



  • Soient aa et bb solutions.
    Soit dd un diviseur de aa. dd divise bμ(b) b^{\mu(b)} donc dd divise bb (évident avec la décomposition en facteurs premiers). De manière symétrique, tout diviseur de bb est un diviseur de aa. Comme aa et bb ont mêmes diviseurs, aa et bb sont soit égaux, soit opposés. Mais si a=ba=-b, en reportant dans l'équation on conclut que nécessairement le nombre de diviseurs de aa doit être pair, et donc que aa ne peut être un carré parfait.

    Réciproquement, on voit bien que si a=ba=b, le couple (a,b)(a,b) est solution. Et si aa n'est pas un carré parfait, son nombre de diviseurs positifs est pair, donc (a,a)(a,-a) est également solution.



  • @redab said in Equation diophantienne:

    Soit d un diviseur de a. d divise bμ(b) b^{\mu(b)} donc d divise b (évident avec la décomposition en facteurs premiers).

    Je ne pense pas que c'est correct! En voici un contre exemple: On a 8248 | 2^4 et 8428 | 4 ^2 et pourtant 88 ne divise ni 22 ni 44.

    @redab said in Equation diophantienne:

    Mais si a=-b, en reportant dans l'équation on conclut que nécéssairement le nombre de diviseurs de a doit être pair, et donc que a ne peut être un carré parfait.

    Je suis d'accord sur le fait qu'on doit avoir que μ(a)\mu(a) est pair.
    Si on considère la décomposition en facteurs premiers de a=i=1npiαi a = \prod_{i=1}^{n}p_i^{\alpha_i}, on aura que le nombre de diviseurs de aa est donnée par μ(a)=i=1n(1+αi)\mu(a) = \prod_{i=1}^{n}(1+\alpha_i).
    Pour que μ(a)\mu(a) soit pair, il faut que (j[1,n]):αj est impair(\exists j \in [|1, n|]): \alpha_j \text{ est impair}. Cela exclût, bien sûr, les carrés parfaits, mais pas que eux seuls.



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  • Je rectifie :
    Pour tout p premier, en notant vpv_p la valuation p-adique, on a
    μ(a)vp(a)=μ(b)vp(b) \mu(a)v_p(a) = \mu(b)v_p(b)
    Ainsi, comme μ\mu est toujours à valeurs strictement positives, vp(a)0vp(b)0 v_p(a) \neq 0 \Leftrightarrow v_p(b) \neq 0 , ce qui prouve que aa et bb ont mêmes diviseurs premiers. C'est un peu plus compliqué !

    Si on note
    a=i=1npiαib=i=1npiβia = \prod_{i=1}^n p_i ^{\alpha_i} b = \prod_{i=1}^n p_i ^{\beta_i}

    On sait que pour tout 1jn1\leq j \leq n
    αji=1n(1+αi)=βji=1n(1+βi) \alpha_{j}\prod_{i=1}^n (1+ \alpha_i) =\beta_{j}\prod_{i=1}^n (1+ \beta_i)
    Ici, j'avoue que je sèche...

    Pour votre deuxième remarque, on sait que μ(a)\mu(a) impair ssi aa est un carré parfait, car le produit est impair si et seulement si chacun des 1+αi1 + \alpha_i est impair. Démonstration:
    \Rightarrow : Si l'un des αi+1\alpha_i + 1 est pair, le produit est pair (contraposée).
    \Leftarrow : Evident.



  • @redab said in Equation diophantienne:

    Pour votre deuxième remarque, on sait que μ(a)\mu(a) impair ssi aa est un carré parfait, car le produit est impair si et seulement si chacun des 1+αi1 + \alpha_i est impair. Démonstration:
    \Rightarrow : Si l'un des αi+1\alpha_i + 1 est pair, le produit est pair (contraposée).
    \Leftarrow : Evident.

    D'accord! L'équivalence μ(a) est impaira est un carré parfait\mu(a) \text{ est impair} \Leftrightarrow a \text{ est un carré parfait} est correcte (Cela simplifiera l'écriture de l'ensemble des solutions).
    Pour la première partie, et dans ta première contribution, tu as dit "soit dd un diviseur de aa" et je trouve que c'est fragile!
    Cela aurait été plus intéressant de commencer par "soit dd un diviseur premier de aa"...



  • @redab said in Equation diophantienne:

    Je rectifie :
    Pour tout p premier, en notant vpv_p la valuation p-adique, on a
    μ(a)vp(a)=μ(b)vp(b) \mu(a)v_p(a) = \mu(b)v_p(b)
    Ainsi, comme μ\mu est toujours à valeurs strictement positives, vp(a)0vp(b)0 v_p(a) \neq 0 \Leftrightarrow v_p(b) \neq 0 , ce qui prouve que aa et bb ont mêmes diviseurs premiers. C'est un peu plus compliqué !

    Si on note
    a=i=1npiαib=i=1npiβia = \prod_{i=1}^n p_i ^{\alpha_i} b = \prod_{i=1}^n p_i ^{\beta_i}

    On sait que pour tout 1jn1\leq j \leq n
    αji=1n(1+αi)=βji=1n(1+βi) \alpha_{j}\prod_{i=1}^n (1+ \alpha_i) =\beta_{j}\prod_{i=1}^n (1+ \beta_i)
    Ici, j'avoue que je sèche...

    On peux procéder autrement pour montrer que μ(a)=μ(b)\mu(a)=\mu(b):
    D'une part, puisque μ\mu est multiplicative, on a μ(a)μ(a)=μ(aμ(a))=μ(bμ(b))=μ(b)μ(b)\mu(a)^{\mu(a)}=\mu(a^{\mu(a)})=\mu(b^{\mu(b)})=\mu(b)^{\mu(b)}.
    D'autre part, la fonction xxxx\to x^x est est continue et strictement croissante sur [1,+[[1, +\infty[, donc elle y est bijective.
    Il s'ensuit finalement que μ(a)=μ(b)\mu(a)=\mu(b). La suite est déjà évoquée dans les précédents messages!



  • @Mountassir-Farid Une fonction f:NCf:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{C} est multiplicative si et seulement si pour tout entiers premiers entre eux a,ba,b : f(ab)=f(a)f(b)f(ab)=f(a)f(b)
    Du coup, on ne peut pas justifier μ(aμ(a))=μ(a)μ(a)\mu (a^{\mu(a)})=\mu (a)^{\mu(a)}



  • @ahmed-taha said in Equation diophantienne:

    @Mountassir-Farid Une fonction f:NCf:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{C} est multiplicative si et seulement si pour tout entiers premiers entre eux a,ba,b : f(ab)=f(a)f(b)f(ab)=f(a)f(b)
    Du coup, on ne peut pas justifier μ(aμ(a))=μ(a)μ(a)\mu (a^{\mu(a)})=\mu (a)^{\mu(a)}

    Oui, tu as raison! J'ai utilisé la définition d'une fonction complètement multiplicative et μ\mu ne l'est pas.
    On ne peux pas justifier la relation μ(aμ(a))=μ(a)μ(a)\mu (a^{\mu(a)})=\mu (a)^{\mu(a)}, car elle est fausse. Je corrige ma proposition ainsi:
    @RedaB a montré que vp(a)μ(a)=vp(b)μ(b)v_p(a)\mu(a)=v_p(b)\mu(b) est vérifiée pour tout nombre premier pp et a déduit que aa et bb ont les même diviseurs premiers (pi)i=1,,n(p_i)_ {i=1, \cdots, n}.
    D'une part, on a μ(b)=i=1n(1+vpi(b))\mu(b) =\prod_{i=1}^{n}(1+v_{p_i}(b)) et μ(a)=i=1n(1+vpi(a))\mu(a) =\prod_{i=1}^{n}(1+v_{p_i}(a)).
    D'autre part, on a (i1,,n):vpi(b)=vpi(a).μ(a)μ(b)(\forall i \in{1, \cdots, n}):v_{p_i}(b)=v_{p_i}(a).\frac{\mu(a)}{\mu(b)} et (i1,,n):vpi(a)=vpi(b).μ(b)μ(a)(\forall i \in{1, \cdots, n}):v_{p_i}(a)=v_{p_i}(b).\frac{\mu(b)}{\mu(a)}.
    On suppose que μ(a)>μ(b)\mu(a) \gt \mu(b). On a μ(b)=i=1n(1+vpi(a).μ(a)μ(b))>i=1n(1+vpi(a))=μ(a)\mu(b) = \prod_{i=1}^{n}\Big(1+v_{p_i}(a).\frac{\mu(a)}{\mu(b)}\Big) \gt \prod_{i=1}^{n}(1+v_{p_i}(a)) = \mu(a). Ce qui est absurde.
    Le cas μ(a)>μ(b)\mu(a) \gt \mu(b) donne une absurdité similaire. On conclût, finalement, que μ(a)=μ(b)\mu(a)= \mu(b).


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