(unsolved)(bulgarian mathematical olympiad )



  • Bonjour,

    voici un exercice d'arithmétique :
    Trouver tous les entiers naturels (x,y)(x ,y) tel que x2+y2xy\dfrac{x^2+y^2}{x-y} est un entier qui divise 1995.


  • Math&Maroc

    Bonjour,
    il suffit de trouver toutes les paires (x,y)(x,y) pour lesquelles xx>yy et x2+y2=k(xy)x^2+y^2=k(x-y)kk divise 1995=357191995=3\cdot 5\cdot 7\cdot 19. On va utiliser le théorème suivant (voir par exemple le livre de M. Aassila, 1000 challenges mathématiques algèbre, théorème 2.8 page 293 pour une démonstration et de nombreuses applications) : si pp est un nombre premier de la forme 4q+34q+3 et si px2+y2p\vert x^2+y^2 alors pxp\vert x et pyp\vert y. Si kk est divisible par 3, alors xx et yy sont divisibles par 3 aussi. En simplifiant par 9 on obtient une égalité de la forme x12+y12=k1(x1y1)x_1^2+y_1^2=k_1(x_1-y_1)k1k_1 divise 57195\cdot 7\cdot 19. En considérant 7 et 9 on obtient de façon similaire une équation de la forme a2+b2=5(ab)a^2+b^2=5(a-b), avec aa>bb (il n'est pas possible d'obtenir une une égalité de la forme a2+b2=aba^2+b^2=a-b). D'où, (2a5)2+(2b5)2=50(2a-5)^2+(2b-5)^2=50, c'est-à-dire a=3,b=1a=3,b=1 ou a=2,b=1a=2,b=1. Ainsi, les paires recherchées sont du type (3c,c),(2c,c),(c,3c),(c,2c)(3c,c),(2c,c),(c,3c),(c,2c)c=1,3,7,19,37,319,719,3719c=1,3,7,19,3\cdot 7,3\cdot 19,7\cdot 19,3\cdot 7\cdot 19.


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