Olympiade Tunisienne [0004]



  • Soient x,y,zx , y , z trois réels positifs vérifiant :

    x+y+z=πx + y + z = \pi

    Démontrer que : sin2(x)+sin2(y)+sin2(z)94\sin^{2}(x)+\sin^{2}(y)+\sin^{2}(z)\leq{\dfrac{9}{4}}

    Dans quel cas a-t-on égalité ?



  • L'inégalité à montrer équivaut à cos(2x)+cos(2y)+cos(2z)32 \cos(2x) + \cos(2y)+ \cos(2z) \ge -\frac 32

    ou encore à cosz(cos(z)cos(xy))14 \cos z (\cos(z) - \cos(x-y)) \ge -\frac 14

    Or pour tout réel XX, on a X(X1)14X(X-1) \ge -\frac 14 avec égalité ssi X=12 X = \frac 12

    Donc il suffit de voir que cos(xy)1-\cos(x-y) \ge -1 et on a le résultat.

    L"égalité a lieu si cos(xy)=1 \cos(x-y)=1 et cos(z)=12\cos(z) = \frac 12 qui donne dans les conditions de l'exercice x=y=z=π3x = y= z=\frac{\pi}{3}



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