Exercice AA-001-NT


  • Math&Maroc

    mm et nn deux entiers strictement positifs. On suppose que k=(m+n)24m(mn)2+4k=\dfrac{(m+n)^2}{4m(m-n)^2+4} est un entier.
    Montrer que kk est un carré parfait.



  • @Mohammed-Aassila
    1° si n>3mn\gt 3m on a alors 2>25m216m3+4>k2\gt \frac{25m^{2}}{16m^{3}+4}\gt k et donc soit l equation n admet pas de solutions soit k=1k=1 et dans ce cas k est un carre parfait
    2° si 3mn03m-n\geq 0 on considere les couples qui ne verifient pas l hypothese de l exercice(k n est pas un carre parfait) et soit (m,n) le couple pour lequel A=b+2m0A=b+2m\geq 0 ( b=mnb=m-n)soit minimale en utilisant les formules de viete on trouve facilement que les deux racines de l equation (on la represente comme une equation de degre 2:(2m)2+α(2m)+β(2m)^{2}+\alpha(2m)+\beta avec α\alpha et β\beta des entiers en fonciton de k et n ) et qui sont 2m et 2n12n_{1} verifient 2n12n_{1} un entier positif et 2m>2n1=b24k2m2m\gt 2n_{1}=\frac{b^{2}-4k}{2m} (a2>b2a^{2}\gt b^{2})est donc b+2m>\gtb+2m_{s}
    par le descente infinie on trouve que pour un certain rang il exsite 2ms2m_{s} tq ms=0m_{s}=0 et donc k=(2msb2)2k=(\frac{2m_{s}-b}{2})^{2} (2 divise 2msb2m_{s}-b) et donc k est un carre parfait



  • @Fahd-Et-tahery Tu peux detailler ta solution un peu plus ?


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