équation fonctionnelle assez difficile


  • Math&Maroc

    Bonjour,

    Déterminer toutes les fonctions f:QQf:{\mathbb Q}^{\star}\longrightarrow {\mathbb Q}^{\star} telles que pour tout x,yx,y :

    f(xf(y))=f(x)y.f\left(\dfrac{x}{f(y)}\right)=f(x)\cdot y.

    MA



  • Solution :

    • Appelons l'assertion P(x,y):f(xf(y))=f(x)yP(x,y) : f\left(\frac{x}{f(y)}\right)=f(x)\cdot y
      En prenant , x=1x=1 , donc f(1f(y))=f(1)yavecf(1)0f\left(\frac{1}{f(y)}\right)=f(1)\cdot y \quad \text{avec} \quad f(1) \ne 0
      Alors ,la fonction xf(x)x \mapsto f(x) est bijective , soit aQ:f(a)=1a \in \mathbb{Q^*}:f(a)=1
      donc P(x,a)a=1 P(x,a) \Rightarrow a=1
      Il s'ensuit que f(1f(y))=y\displaystyle f\left(\frac{1}{f(y)}\right)=y ,
      P(f(y),y)f(f(y))=1yP(f(y),y) \Rightarrow f\left(f(y)\right)=\frac{1}{y}
      D'ailleurs , P(x,f(y))f(xy)=f(xf(f(y)))=f(x)f(y)P\left(x,f(y)\right) \Rightarrow f(xy)=f\left(\frac{x}{f(f(y))}\right)=f(x)\cdot f\left(y\right)
      d'où , ff est une fonction multiplicative , On pose g(x)=ln(f(ex))g(x)=\ln(f(e^x))
      donc g(x+y)=ln(f(ex+y))=ln(f(ex))+ln(f(ey))=g(x)+g(y)g(x+y)=\ln(f(e^{x+y}))=\ln(f(e^x))+\ln(f(e^y))=g(x)+g(y)

    donc , gg est une fonction qui satisait l'équation de Caushy xQ\forall x \in \mathbf{Q^ *}
    , alors gg est linéaire , i.e g(x)=ax,aQg(x)=ax , a \in \mathbf{Q^ *} , on en déduit f(x)=xaf(x)=x^{a} , on vérifie dans l'équation de départ ,on trouve xaya2=xay1=x1a2=1x^{a}\cdot y^{-a^2}=x^{a}\cdot y^{1}=x^{-1} \Rightarrow a^2=-1 impossible .

    • En conclusion , il n'y a pas de fonction vérifiant la condition .

  • Math&Maroc

    pas tout à fait !

    Si p1=2,p2=3,p3=5,p_1=2,p_2=3,p_3=5,\cdots est la suite des nombres premiers, alors la fonction ff définie par f(1)=1,f(p2k1)=p2k,f(p2k)=1p2k1f(1)=1, f(p_{2k-1})=p_{2k},f(p_{2k})=\dfrac{1}{p_{2k-1}} n'est pas de ton avis :-)

    MA



  • j'ai vérifié cette fonction et elle est correcte , mais je ne comprends pas encore où est mon erreur , j'aimerais bien voire la solution complète .
    Est ce que la fonction , définie par f(1)=1f(1)=1 , f(p2k1)=p2kf(p_{2k-1})=p_{2k}, et f(p2k)=1p2k1\displaystyle f(p_{2k})=\frac{1}{p_{2k-1}} avec (pn)n1(p_n)_{n\ge 1} la suite des nombres premiers , est la seule solution ??


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