une équation fonctionnelle


  • Math&Maroc

    Bonjour,

    Déterminer toutes les fonctions f:]0,+[]0,+[f: ]0,+\infty[\longrightarrow ]0,+\infty[ telles que pour tout xx on a :

    f(f(x)2x)=3xf(f(x)-2x)=3x.

    MA



  • @ma
    Solution :
    On pose la fonction gg définie par f(x)=g(x)+2xf(x)=g(x)+2x

    donc , 3x=f(f(x)2x)=g(f(x)2x)+2(f(x)2x)=g(g(x))+2g(x)3x=f(f(x)-2x)=g(f(x)-2x)+2(f(x)-2x)=g(g(x))+2g(x)

    alors g(g(x))+2g(x)=3xg(g(x))+2g(x)=3x
    On définie la suite (un)(u_n), par u0=xu_0=x et g(un)=un+1g(u_n)=u_{n+1}

    • On obtient donc , un+2=3un2un+1u_{n+2}=3u_{n}-2u_{n+1} , l'équation caractéristique de la suite (un)(u_n) (ou tout autre moyen à votre convenance ) donne un=a1+b(3)nu_n=a\cdot 1+b\cdot(-3)^n
      et comme unu_n ne prend que des valeurs positives ,alors nécessairement b=0b=0
      , et u0=au_0=a donc g(u0)=u1g(u_0)=u_1 , d'où xR+:g(x)=x\forall x \in \mathbb{R^+_*}: g(x)=x
    • finalement, f(x)=3xf(x)=3x , réciproquement , la fonction x3xx \mapsto 3x s'agit bien de solution .

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