Exercice équations fonctionnelles



  • Exercice :
    Trouver toutes les fonctions f:RRf:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} vérifiant la relation : f(x)+f(11x)=xf(x)+f(\dfrac{1}{1-x})=x pour tout nombre réel xx : x0x\neq0 et x1x\neq1 .



  • Soit ff solution. Pour t un réel différent de 0 et 1,on pose g(t)=1/(1t) g(t) = 1/(1-t) . On remarque qu’on a ggg=Idg\circ g\circ g = Id. Soit xx un réel différent de 0 et 1. On a alors :
    f(x)=xf(g(x)) f(x) = x-f(g(x)), donc
    f(g(x))=g(x)f(g(g(x)))f(g(x))= g(x) - f(g(g(x))) et donc
    f(g(g(x)))=g(g(x))f(x)f(g(g(x))) = g(g(x)) - f(x)

    Comme ggg=Idg\circ g\circ g = Id, on en conclut

    2f=gg+Idg 2f= g\circ g + Id -g.
    On conclut donc que nécessairement
    f(x)=(x3x+1)/(2x(x1))f(x) = (x^3 -x+1)/(2x(x-1))

    Réciproquement on considère cette fonction, et on vérifie par le calcul qu’elle vérifie bien l'équation fonctionelle.


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