Exercice arithmétique



  • Exercice :
    Trouver tous les nombres réels tt tels que : 7t+7+tN\sqrt{7-t}+\sqrt{7+t}\in \mathbb{N} (entier naturel)



  • Raisonnons par analyse/synthèse
    Soit tt un réel. Notons Nt:=7t+7+tN_t :=\sqrt{7-t} + \sqrt{7+t}
    Remarquons déjà que pour que NtN_t soit entier, tt doit appartenir au segment [7,7][-7,7]
    Ceci dit, on a

    $\begin{equation*} N_t \in \mathbb{N} & \implies N_t^2 \in \mathbb{N} \
    & \implies 2 \sqrt{49-t^2} \in \mathbb{N} \ & \implies 49 - t^2 \ & \implies \exists m \in \mathbb{N} \quad : \quad m^2 + 2t^2 = 98 \end{equation*}$

    L'examen de la dernière équation montre qu'elle n'a pas de solutions entières autres que 7 et -7 pour t mais ces valeurs ne correspondent pas à des solutions du premier pb donc le pb n'a pas de solutions (sauf erreur ou omission)



  • @sarih said in Exercice arithmétique:

    Raisonnons par analyse/synthèse
    Soit tt un réel. Notons Nt:=7t+7+tN_t :=\sqrt{7-t} + \sqrt{7+t}
    Remarquons déjà que pour que NtN_t soit entier, tt doit appartenir au segment [7,7][-7,7]
    Ceci dit, on a

    $\begin{equation*} N_t \in \mathbb{N} & \implies N_t^2 \in \mathbb{N} \
    & \implies 2 \sqrt{49-t^2} \in \mathbb{N} \ & \implies 49 - t^2 \ & \implies \exists m \in \mathbb{N} \quad : \quad m^2 + 2t^2 = 98 \end{equation*}$

    L'examen de la dernière équation montre qu'elle n'a pas de solutions entières autres que 7 et -7 pour t mais ces valeurs ne correspondent pas à des solutions du premier pb donc le pb n'a pas de solutions (sauf erreur ou omission)

    On aura plutôt (mN):249t2=mm2+4t2=196(\exists m \in\mathbb{N}):2\sqrt{49-t^2}=m\Leftrightarrow m^2+4t^2=196.
    Est ce que tu peux détailler comment tu étudies cette dernière équation?



  • Puisque 196 n'est pas grand on se contente d'étudier tous les cas possibles :

    m2m^2 est un carré parfait inférieur ou égal à 196196, on énumère tous les cas possibles et en chaque on détermine la valeur possible de tt.



  • J'avais probablement tort, comme tt est réel, il y'a des solutions comme 434\sqrt{3} mais qui vont se déduire de la même approche de résolution suivie


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