[niv 0] inégalité


  • Math&Maroc

    Astuce : a2+b22aba^2+b^2\geq2ab pour tous les réels a,ba,b
    soient x,y,zx,y,z\geq tq xy+yz+xz=3xyzxy+yz+xz=3xyz
    montrer que x2y+y2z+z2x2(x+y+z)3x^2y+y^2z+z^2x\geq 2(x+y+z)-3



  • Je vais supposer que x,y,zx,y,z sont strictement positifs.
    La condition sur x,y,zx,y,z s'écrit aussi 1x+1y+1z=3\frac 1x + \frac 1y + \frac 1z = 3
    Du coup, l'inégalité à établir s'écrit aussi (x2y+1y)+(y2z+1z)+(z2x+1x)2(x+y+z) \left(x^2y +\frac 1y\right) + \left(y^2z+\frac 1z\right) + \left(z^2x+\frac 1x\right) \ge 2(x+y+z)
    qui devient alors triviale, compte tenu de l'astuce rappelée.


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