# [niv ] inégalité trés utile

• soient $a,b\geq 0$,montrer l'inégalité suivante:
$\frac{1}{(a+1)^2}+\frac{1}{(b+1)^2} \geq \frac{1}{1+ab}$

• avec trois variables $a,b,c\geq0$,on a l'inégalité suivante:
$\frac{1}{(1+a)^2}+\frac{1}{(1+b)^2}+\frac{1}{(1+c)^2} \geq \frac{1}{1+abc}$

• Application:China TST 2005:
Let $a,b,c,d \geq0$ tq $abcd=1$. Montrer que:
$\frac{1}{(1+a)^2}+\frac{1}{(1+b)^2}+\frac{1}{(1+c)^2}+\frac{1}{(1+d)^2} \geq 1$

• On a déjà Démontré la lemme : $\frac{1}{(1+a)^2}$ + $\frac{1}{(1+b)^2} \geq \frac{1}{1+ab}$
Donc : $\frac{1}{(1+a)^2}$ + $\frac{1}{(1+b)^2}$ + $\frac{1}{(1+c)^2}$ + $\frac{1}{(1+d)^2} \geq \frac{1}{1+ab}$ + $\frac{1}{1+cd}$
Et on a abcd=1 Donc ab=$\frac{1}{cd}$
Alors $\frac{1}{ab+1}$=$\frac{cd}{cd+1}$
Donc : $\frac{1}{1+ab}$ + $\frac{1}{1+cd}$=$\frac{(cd)}{cd+1}$+$\frac{1}{cd+1}=1$
Alors On deduit que
$\frac{1}{(1+a)^2}$ + $\frac{1}{(1+b)^2}$ + $\frac{1}{(1+c)^2}$ + $\frac{1}{(1+d)^2}\geq 1$

• @Naji-Meftah trés bien mais il faut démontrer la premiere inégalité

• D'après Am-Gm On a : $\frac{1}{(a+1)^2}$ + $\frac{1}{(b+1)^2}$ $\geq$ $\frac{2}{(a+1)(b+1)}$
D= $\frac{2}{(a+1)(b+1)}$ - $\frac{1}{1+ab}$= $\frac{(a-1)(b-1)}{(1+a)(1+b)(1+ab)}$

Si $a\geq 1$ et $b\geq1$ ou $a\leq 1$ et $b\leq1$ Le lemme est demontré.
Sinon :
$a\leq 1\leq b$ $\Rightarrow$ $\frac{1}{(a+1)^2}$ $\geq$ $\frac{1}{(b+1)^2}$ $\Rightarrow$ $\frac{1}{(a+1)^2}$ + $\frac{1}{(b+1)^2}$ $\geq$ $\frac{2}{(b+1)^2}$
Puisque $\frac{2}{(b+1)^2}$ $\geq$ $\frac{1}{ab+1}$
Donc : $\frac{1}{(a+1)^2}$ + $\frac{1}{(b+1)^2}$ $\geq$ $\frac{1}{ab+1}$
Et la lemme est démontré.

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