[niv ] inégalité trés utile


  • Math&Maroc

    soient a,b0a,b\geq 0,montrer l'inégalité suivante:
    1(a+1)2+1(b+1)211+ab\frac{1}{(a+1)^2}+\frac{1}{(b+1)^2} \geq \frac{1}{1+ab}


  • Math&Maroc

    avec trois variables a,b,c0a,b,c\geq0,on a l'inégalité suivante:
    1(1+a)2+1(1+b)2+1(1+c)211+abc \frac{1}{(1+a)^2}+\frac{1}{(1+b)^2}+\frac{1}{(1+c)^2} \geq \frac{1}{1+abc}


  • Math&Maroc

    Application:China TST 2005:
    Let a,b,c,d0a,b,c,d \geq0 tq abcd=1abcd=1. Montrer que:
    1(1+a)2+1(1+b)2+1(1+c)2+1(1+d)21 \frac{1}{(1+a)^2}+\frac{1}{(1+b)^2}+\frac{1}{(1+c)^2}+\frac{1}{(1+d)^2} \geq 1



  • On a déjà Démontré la lemme : 1(1+a)2\frac{1}{(1+a)^2} + 1(1+b)211+ab\frac{1}{(1+b)^2} \geq \frac{1}{1+ab}
    Donc : 1(1+a)2\frac{1}{(1+a)^2} + 1(1+b)2\frac{1}{(1+b)^2} + 1(1+c)2\frac{1}{(1+c)^2} + 1(1+d)211+ab\frac{1}{(1+d)^2} \geq \frac{1}{1+ab} + 11+cd\frac{1}{1+cd}
    Et on a abcd=1 Donc ab=1cd\frac{1}{cd}
    Alors 1ab+1\frac{1}{ab+1}=cdcd+1\frac{cd}{cd+1}
    Donc : 11+ab\frac{1}{1+ab} + 11+cd\frac{1}{1+cd}=(cd)cd+1\frac{(cd)}{cd+1}+1cd+1=1\frac{1}{cd+1}=1
    Alors On deduit que
    1(1+a)2\frac{1}{(1+a)^2} + 1(1+b)2\frac{1}{(1+b)^2} + 1(1+c)2\frac{1}{(1+c)^2} + 1(1+d)21\frac{1}{(1+d)^2}\geq 1


  • Math&Maroc

    @Naji-Meftah trés bien mais il faut démontrer la premiere inégalité



  • D'après Am-Gm On a : 1(a+1)2\frac{1}{(a+1)^2} + 1(b+1)2\frac{1}{(b+1)^2} \geq 2(a+1)(b+1)\frac{2}{(a+1)(b+1)}
    D= 2(a+1)(b+1)\frac{2}{(a+1)(b+1)} - 11+ab\frac{1}{1+ab}= (a1)(b1)(1+a)(1+b)(1+ab)\frac{(a-1)(b-1)}{(1+a)(1+b)(1+ab)}

    Si a1a\geq 1 et b1 b\geq1 ou a1a\leq 1 et b1b\leq1 Le lemme est demontré.
    Sinon :
    a1ba\leq 1\leq b \Rightarrow 1(a+1)2\frac{1}{(a+1)^2} \geq 1(b+1)2\frac{1}{(b+1)^2} \Rightarrow 1(a+1)2\frac{1}{(a+1)^2} + 1(b+1)2\frac{1}{(b+1)^2} \geq 2(b+1)2\frac{2}{(b+1)^2}
    Puisque 2(b+1)2\frac{2}{(b+1)^2} \geq 1ab+1\frac{1}{ab+1}
    Donc : 1(a+1)2\frac{1}{(a+1)^2} + 1(b+1)2\frac{1}{(b+1)^2} \geq 1ab+1\frac{1}{ab+1}
    Et la lemme est démontré.




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