[niv 0] exercice


  • Math&Maroc

    1-soient a,ba,b des reels positives tq 1a=1b+1a+b\frac{1}{a}=\frac{1}{b}+\frac{1}{a+b}
    calculer ab+ba\frac{a}{b}+\frac{b}{a}
    2-soient x,yx,y des reels tq (x+y2+1)(y+x2+1)=1(x+\sqrt{y^2+1})(y+\sqrt{x^2+1})=1
    montrer que x=yx=-y



  • je pense pour 1) il faut que : a et b doivent être strictement positifs.
    Pour 2) je pense que la relation exacte est : (x+y2+1)(x+x2+1)=1(x+\sqrt{y^2+1})(x+\sqrt{x^2+1})=1 .


  • Math&Maroc

    dsl,une petite faute de frappe



    1. on a 1a1b=1a+b\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{a+b}
      Donc (ab)ab=1a+b\dfrac{-(a-b)}{ab}=\dfrac{1}{a+b}
      Et alors : a2b2ab=1-\dfrac{a^2-b^2}{ab}=1
      D’où abba=1\dfrac{a}{b}-\dfrac{b}{a}=-1
      c.a.d (ab)22+(ba)2=1(\dfrac{a}{b})^2-2+(\dfrac{b}{a})^2=1
      Alors (ab)2+2+(ba)2=5(\dfrac{a}{b})^2+2+(\dfrac{b}{a})^2=5
      c.a.d (ab+ba)2=5(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a})^2=5
      Donc ab+ba=5\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}=\sqrt{5}
    2. On a x+x2+1=1y+y2+1x+\sqrt{x^2+1}=\dfrac{1}{y+\sqrt{y^2+1}}
      Donc : x+x2+1=yy2+1y2y21x+\sqrt{x^2+1}=\dfrac{y-\sqrt{y^2+1}}{y^2-y^2-1}
      Alors x+x2+1=y2+1yx+\sqrt{x^2+1}=\sqrt{y^2+1}-y
      De même on démontre que y+y2+1=x2+1xy+\sqrt{y^2+1}=\sqrt{x^2+1}-x
      Alors en additionnant les deux égalités, on aura : 2(x+y)=02(x+y)=0
      Alors x=yx=-y

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