Exercice AA-001-A


  • Math&Maroc

    Montrer que tous les termes de la suite xn{x_n} définie par x0=1x_0=1 et
    xn+1=3xn+5xn242n0,x_{n+1}= \dfrac{3x_n+\sqrt{5x_n^2-4}}{2}\quad\forall n\geq 0,
    sont des entiers.



  • En essayant les premiers termes on remarque que xn=F2n+1 x_{n}=F_{2n+1}
    On entame une récurrence . On veut demontrer que F2n+3=3F2n+1+5F2n+1242F_{2n+3}= \frac{3F_{2n+1}+ \sqrt{5F_{2n+1}^2-4}}{2}

    Ce qui équivaut à F2n+12=F2n+22F2n+1F2n+2+1 F_{2n+1}^2 = F_{2n+2}^2 - F_{2n+1}F_{2n+2} +1
    Démontrons cette propriété par récurrence. Pour n=0 n=0 c est vrai
    Supposons que F2n+12=F2n+22F2n+1F2n+2+1 F_{2n+1}^2 = F_{2n+2}^2 - F_{2n+1}F_{2n+2} +1
    Montrons que F2n+32=F2n+42F2n+3F2n+4+1 F_{2n+3}^2 = F_{2n+4}^2 - F_{2n+3}F_{2n+4} +1
    Equivalent à F2n+12+2F2n+1F2n+2=F2n+2F2n+3+1 F_{2n+1}^2 +2 F_{2n+1}F_{2n+2} = F_{2n+2}F_{2n+3} +1
    Ou encore en utilisant l hypothése de récurrence à :
    F2n+1+F2n+2=F2n+3 F_{2n+1} + F_{2n+2} = F_{2n+3} Ce qu est vrai.
    On en déduit que xn=F2n+1 x_{n}=F_{2n+1} Donc xn x_{n} est un entier pour tout n



  • On a (xn+132xn)2=54xn21 (x_{n+1}-\frac{3}{2}x_{n})^{2}=\frac{5}{4}x_{n}^{2}-1
    xn+1294xn23xnxn+1=54xn21 x_{n+1}^{2}-\frac{9}{4}x_{n}^{2}-3x_{n}x_{n+1}=\frac{5}{4}x_{n}^{2}-1
    xn+12+xn2=3xnxn+11 x_{n+1}^{2}+x_{n}^{2}=3x_{n}x_{n+1}-1 ()(\ast)
    donc xn+22+xn+12=3xn+1xn+21 x_{n+2}^{2}+x_{n+1}^{2}=3x_{n+1}x_{n+2}-1 ()(\ast\ast)
    ()(\ast\ast)- ()(\ast)
    xn+22xn2=3xn+1(xn+2xn) x_{n+2}^{2}-x_{n}^{2}=3x_{n+1}(x_{n+2}-x_{n})

    comme xn+2x_{n+2} \neq xnx_{n}
    alors xn+2xn=3xn+1 x_{n+2}-x_{n}=3x_{n+1}
    ainsi xn+2=xn+3xn+1 x_{n+2}=x_{n}+3x_{n+1}
    donc par récurrence double on montre que (xn)(x_{n}) est entier



  • 0_1503428517499_lcdvf.JPG
    Une méthode différente un petit peu (bien que la suite soit différente, je pense que cette méthode s'appliquera à notre cas)



  • Plus générale :
    La suite définie par : U1=1U_{1}=1 et pour tout n de NN^{*} :
    Un+1=xUn+(1+(x21)Un) U_{n+1}=xU_{n}+\sqrt({1+(x^{2}-1})U_{n})
    xx est un entier naturel non nul.
    UnU_{n} est un entier naturel


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