[niv 2] théorie des nombres et suites



    • soient a et b des entiers naturels tels que a.2n+ba.2^n+b est un carré parfait pour tout entier naturel nn . Montrer que a=0a=0

    Dans le même esprit (mais plus difficiles), montrer que :

    • si a un réel tel que naNn^a \in \mathbb{N}, alors a est entier
    • si aa et bb sont des entiers naturels tels que an1bn1a^n-1|b^n-1 pour tout entier naturel nn alors bb est une puissance de aa


  • soit xn une suite de carres parfait tels que a.2^n+b=xn
    elle est claire que xn+1=2xn-b
    on a donc xn+1-2xn=-b et alors on a toujours xn+1<2xn
    ici on distingue 2 cqs
    cas 1
    on a bien qu' a partir d"un certain rang xn>b
    donc xn<xn+1<2xn
    d'ou xn+1=xn implique directement que a=0
    cas ou xn<b donc xn+1<xn
    don elle est decroissante et comme elle est minore par 0
    donc lim xn=0=x0
    IMPLIQUE a+b=0 et donc a=0



  • Je ne comprend pas trop ton passage xnxn+12xnx_n \leq x_{n+1} \leq 2 x_n
    d'où xn+1=xn x_{n+1}=x_n .
    l'inégalité xn+12xnx_{n+1} \leq 2 x_n ne sert pas à grand chose, puisqu'au voisinnage de l'infini il y'a assez de carrés entre xnx_n et 2.xn2. x_{n}



  • Ah! oui désolé t'as raison à se point là,



  • T'as une idée sur la solution?


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