[Proposed, niv 1] 2017 .... et 2020


  • Math&Maroc

    Soient a,b,ca,b,c des réels strictement positifs tels que ab+ac+bc=2017ab+ac+bc=2017. Montrer que
    (a+1b)2+(b+1c)2+(c+1a)2202022017. \left(a+\dfrac{1}{b}\right)^2+\left(b+\dfrac{1}{c}\right)^2+\left(c+\dfrac{1}{a}\right)^2\geq \dfrac{2020^2}{2017}.



  • Reformulons le probleme pour traiter un cas plus général
    ab+ac+bc=nab+ac+bc=n avec (a,b,c) (a,b,c) dans R+R+*
    Montrer que (a+1b)2(n+3)2n\sum (a+\frac{1}{b})^2 \geq \frac{(n+3)^2}{n}
    Qui équivaut à a2+ sum1a2+2abn+6+9n\sum a^2 + \ sum \frac{1}{a^2} + 2 \sum \frac{a}{b} \geq n+6+\frac {9}{n}
    Hors on a a2ab=n\sum a^2 \geq \sum ab=n
    et 2ab6 2 \sum \frac{a}{b} \geq 6 (AM.GMAM.GM )
    Et (ab)2=n327(abc)2(\sum ab)^2=n^3\geq 27 (abc)^2 (AM.GMAM.GM)
    Ce qui nous donne en appliquant AM.GMAM.GM encore une fois 1a231(abc)239n \sum \frac{1}{a^2} \geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{(abc)^2}} \geq \frac{9}{n}
    Ce qui conclut la preuve



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