[Proposed, niv 2] polynôme et arithmétique


  • Math&Maroc

    Soit P(X)=anXn++a1X+a0P(X)=a_nX^n+\cdots+a_1X+a_0 un polynôme à coefficients entiers. Soient A(a1,a2)A(a_1,a_2) et B(b1,b2)B(b_1,b_2) deux points ( à coordonnées entières) du graphe de PP. Montrer que si la longueur du segment [AB][AB] est un entier, alors [AB][AB] est parallèle à l'axe des abscisses.



  • On note les points A(a,P(a));B(b,P(b))A(a,P(a)) ; B(b,P(b)). La longueur ABAB vaut (ba)2+(P(b)P(a))2\sqrt{(b-a)^2 + (P(b)-P(a))^2}. On veut montrer que P(a)=P(b)P(a)=P(b). Déjà, PP est a coeffs entiers donc on peut en déduire que P(b)P(a)P(b)-P(a) est divisible par bab-a. Notons P(b)P(a)=k(ba)P(b)-P(a) = k(b-a).
    (ba)1+k2(b-a)\sqrt{1+k^2} est un entier donc 1+k2\sqrt{1+k^2} est rationnel et donc entier (c'est la racine d'un entier, elle est soit irrationnelle soit entière).
    Donc 1+k21+ k^2 est un carré parfait. Donc k=0k=0.


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